Доказать свойство НОД

[Brukvalub]

Еще раз: вы обосновываете существование НОД существованием единицы, но никак не используете свойство целостности. Выходит, НОД есть и в любых коммутативных кольцах с единицей?

[student1138]

Brukvalub в сообщении #1181922 писал(а):

Еще раз: вы обосновываете существование НОД существованием единицы, но никак не используете свойство целостности. Выходит, НОД есть и в любых коммутативных кольцах с единицей?

Получается что так, кроме кольца состоящего из одного нуля (когда единица является делителем нуля)

[Brukvalub]

student1138 в сообщении #1181923 писал(а):

Brukvalub в сообщении #1181922

писал(а):
Еще раз: вы обосновываете существование НОД существованием единицы, но никак не используете свойство целостности. Выходит, НОД есть и в любых коммутативных кольцах с единицей?
Получается что так, кроме кольца состоящего из одного нуля (когда единица является делителем нуля)

Это не так.

[AV_77]

Так как кольцо целостное, то возможно сокращение и из $ab \mid ac$ следует, что $b \mid c$.

 PS. Задачу надо понимать так, что если $(ta, tb)$ существует, то существует $(a, b)$ и $(ta, tb) = t (a, b)$.

[Xaositect]

Да, в произвольных областях целостности может не быть НОД: https://mathoverflow.net/questions/1110 ... on-divisor

[vpb]

Что ж, и на солнце бывают пятна, и в лучших книгах --- ошибки. От такого никто не застрахован. "Errare humanum est", как сказал ёжик, слезая с кактуса.

[student1138]

AV_77 в сообщении #1181928 писал(а):

Так как кольцо целостное, то возможно сокращение и из $ab \mid ac$ следует, что $b \mid c$.

 PS. Задачу надо понимать так, что если $(ta, tb)$ существует, то существует $(a, b)$ и $(ta, tb) = t (a, b)$.

Кажется наконец-то понял.
Как ранее писали, искомый НОД, делится на $t$. Значит он равен $tx$. Значит $tx|ta, tx|tb$ откуда $x|a, x|b$. Т.е. $x$ нужно искать среди делителей $a, b$. Учитывая второе свойство НОД, это должен быть НОД$(a, b)$

[vpb]

Да, это правильно.