Найти все указанные остатки от деления

[Ktina]

Ни одно из указанных чисел не делится на 10 и все эти числа дают при делении на 10 разные остатки. Сумма этих чисел делится на 10. Найдите все указанные остатки от деления.
(Источник задачи: http://www.diary.ru/~eek/p194738231.htm , 6 класс, задача №9)

Мне не совсем понятно, что именно требуется в задаче. Найти число вариантов всех возможных остатков от деления? Тогда я не знаю, как считать, ведь нужно следить за тем, чтобы не появились одинаковые остатки. Скажем, для двух чисел легко, там ровно 4 варианта:

$$(1, 9); (2, 8); (3, 7); (4, 6)$$

А если чисел, к примеру, 5?

Пожалуйста, помогите решить.
Заранее спасибо!

[gris]

По-моему, задача изоморфна такой: разбить $10$ на различные натуральные слагаемые.
Ну и понеслись с горы на санках: $(1,9),(2,8),...,(1,2,7),...,(1,2,3,4)$. А больше четырёх слагаемых никак не получается. Приехали в сугроб. Наибольшая возня с тремя слагаемыми. Ну так шестиклашкам она вполне доступна. Конечно, вначале им надо понять, что спрашивается именно об остатках, а не о самих числах, то есть даётся такой лёгкий намёк на понятия эквивалентности и фактор-множества.

[Ktina]

gris в сообщении #1181699 писал(а):

По-моему, задача изоморфна такой: разбить $10$ на различные натуральные слагаемые.
Ну и понеслись с горы на санках: $(1,9),(2,8),...,(1,2,7),...,(1,2,3,4)$. А больше четырёх слагаемых никак не получается. Приехали в сугроб. Наибольшая возня с тремя слагаемыми. Ну так шестиклашкам она вполне доступна.

gris
А если остатки, к примеру, 9, 8, 7, 6, 5, 4 и 1? Разве сумма не будет тогда кратна 10? А слагаемых в ней больше четырёх.

[gris]

Вот. Это уже следующий шаг. Оказывается, что можно добавить разбиение и $20$, и $30$ и даже $40$.
Для последних случаев легче выкидывать из $\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ числа, сумма которых равна $5$ или $15$.
То есть к ответу добавим, например, $(1,2,3,4,6,7,8,9)$ и $(1,2,3,4,5,7,8)$.
Следующим шагом будет, наверное, какое-то комбинаторное решение. Мне кажется, что предполагалось просто выписать все разбиения для $5,10,15,20$ в качестве суммы
Хотя их навскидку больше полусотни (51). Заставлять школьников это делать жестоко. А требовать от шестиклассников знания формул комбинаторики уж совсем как-то не в ту степь.
Кроме того: в задаче указываются числа, а требуется найти указанные остатки от деления. А их и не указывали .Требуется интерпретатор условий.
А вот решение на оф. сайте:

Цитата:

Решение. Добавим недостающий остаток. Получим числа от 1 до 9, сумма которых равна 45. Это число на 10 не делится. Какое число (от 1 до 9) следует вычесть, чтобы результат делился на 10? Единственный вариант - число 5. Следовательно, число 5 и было добавлено ко всем восьми остаткам

Надо понимать, что было указано восемь чисел? В тексте нет, разве что рисунок прилагался

[Ktina]

gris
А где Вы решение нашли? Ссылку, пожалуйста, дайте.

[gris]

http://sammat.ru/wp-content/uploads/files/sammat2013_solutions.pdf
Я думаю, что был какой-то рисунок. С восемью числами, конечно, вполне подходит для 6 класса. В Вашей интерпретации задача интереснее и плодотворнее методически, но не для очной олимпиады. Слишком занудно считать полсотни вариантов.

[Ktina]

gris
Большое спасибо!