2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Формула Пуассона
Сообщение02.01.2017, 21:53 
Аватара пользователя
Нужно доказать формулу Пуассона при том, что $S = \{x^2 + y^2 + z^2 = 1\}$:
$$
\iint \limits_S f(ax + by + cz) \, \mathrm dS = 2 \pi \int \limits_{-1}^{+1} f(u\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}) \, \mathrm du.
$$

На данный момент я получил
$$
\iint \limits_S f(ax + by + cz) \, \mathrm dS = 2 \pi \int \limits_{-1}^{+1} f(ax + by + cz) \, \mathrm du,
$$
где замена полярная: $x = \sin \psi \cos \varphi$, $y = \sin \psi \sin \varphi$, $z = \cos \psi$, а новая переменная $u = \cos \psi$. Тут какой-то хитрый кульбит должен быть, коль $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$ есть длина вектора
$$
\mathbf r_0 = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}?
$$

Я не понял, что дальше. С наступившим вас.

 
 
 
 Re: Формула Пуассона
Сообщение02.01.2017, 22:51 
Чего бы не сделать поворот, после которого ось $x$ будет параллельна ${\bf r}_0$? Тогда подинтегральная функция превратится в $f(|{\bf r}_0|x)$.

 
 
 
 Re: Формула Пуассона
Сообщение02.01.2017, 23:02 
Аватара пользователя
К сожалению, не могу ответить, потому что не понял...
Как это от поворота интегральная функция будет такой? Поясните, пожалуйста.

 
 
 
 Re: Формула Пуассона
Сообщение02.01.2017, 23:07 
В исходном интеграле стоит $f(({\bf r}_0,{\bf r}))$, где ${\bf r}=(x,y,z)$. При поворотах скалярное произведение не меняется... А если повернуть систему координат так, чтобы ${\bf r}_0=(|{\bf r}_0|,0,0)$, то...

 
 
 
 Re: Формула Пуассона
Сообщение02.01.2017, 23:22 
Аватара пользователя
Угу, понял идею, спасибо.

 
 
 [ Сообщений: 5 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group