Порядок производной

[Три А,да]

В настоящее время известно обобщение интегрирования и дифференцирования на дробный порядок, в частности в форме Римана-Лиувиля
$ (I^{\alpha}_{a+}\varphi )(x)=\frac {1} {\Gamma(\alpha)} \int\limits_{a+}^{x} \frac {\varphi(t)} {(x-t)^{1-\alpha}}dt$
В связи с этим возникает ряд вопросов:
1.
Можно ли рассматривать порядок интегрирования или дифференцирования как независимую переменную величину или в как некоторую функцию от того же аргумента
$ \alpha=f(x)$
Если для простоты взять
$\varphi(x)=e^{kx}$
и для любого $ \alpha$
$ (I^{\alpha}_{-\infty}\varphi )(x)=k^{-\alpha}e^{kx}$
и учитывая непрерывность перейти к пределу
$ \alpha \to f(x)$
Можно ли из этого записать
$ (I^{f(x)}_{-\infty}\varphi )(x)=k^{-f(x)}e^{kx}$

2
Пусть
$ (I^{\alpha}_{a+}\varphi )(x)=\psi(x)$
Существует ли функция, которая по известным $ \varphi(x)$, $ \psi(x)$ и $ {a+}$ возвращает $ \alpha$
$ Ir(\varphi(x), \psi(x), a+)=\alpha$
Если технически для постоянной $ \alpha$ это можно свести к взятию Фурье образов от $ \varphi(x)$ и $ \psi(x)$ и далее к алгебраическим действиям, то для случая $ \alpha=f(x)$ этот способ не подходит, поскольку преобразование Фурье должно действовать и на $ \alpha=f(x)$

3.
Вообще говоря любую функцию можно рассматривать как действие некоего оператора или группы операторов на аргумент, в качестве которого может выступать другая функция, в частности это может быть многократное действие на аргумент одного и того же оператора
$ (A^{n}\varphi )(x)=\psi(x)$
соответственно встают вопросы о обобщении порядка действия оператора $ n$ на нецелые числа, а переменную величину и некоторую функцию, а также о нахождении $ n$ из уравнения $ (A^{n}\varphi )(x)=\psi(x)$ по известным $ \varphi(x)$, math]$ \psi(x)$[/math] и при известном $ A$, то есть о существовании некой функции $ Ar(\varphi(x), \psi(x))=n$ (одним из примеров такой функции очевидно является логарифм). При этом свойства функции $ Ar$ будут определяться оператором $ A$

[arseniiv]

Три А,да в сообщении #1181480 писал(а):

соответственно встают вопросы о обобщении порядка действия оператора $ n$ на нецелые числа

Это возможно не для любых операторов так же как и дробная композиция обычных функций от чисел. К тому же даже на отрицательные целые вы многократную композицию необратимой функции не обобщите.