Изучаю книгу "Элементарные методы в аналитической теории чисел", там на стр. 13-19 доказывается теорема Манна о том, что

, где

и

И мне кажется, что в этом доказательстве есть очень явная ошибка, что странно для первых страниц такой серьёзной монографии, так что прошу меня образумить и объяснить, почему там всё верно.
Там в ходе доказательства основной леммы при фиксированном

рассматривается свойство "нормальности" множества

заключающееся в том что для

всегда

. Для "нормальных" множеств лемма там выводится тривиально, а для "ненормальных" строится расширение множеств

и

следующим образом:
обозначим за

минимум по

из всех решений уравнения

, где

Тогда

определяется как все возможные

из решений уравнения

при

и

. Тут важно обратить внимание на ограничение

, которое дальше в доказательстве в одном месте используется, а в другом принципиально забывается (и таким образом в

оказываются элементы не подпадающие под ограничение).

определяется как

.
Расширениями соответственно являются

и

.
Так вот дальше начинается самое интересное, потому что автор (Хинчин) начинает доказывать, что

. Для этого конечно рассматриваются

и говорится, что, по определению,

для

. Ну и для доказательства

надо доказать, что если

, то

.
Делается это так:


И из того что

удовлетворяет последнему равенству, и

якобы "по определению" следует

. Но для

по определению требуется ещё и

(и, повторюсь, эта часть определения

в дальнейшем используется в доказательстве) и абсолютно не очевидно, что

должно находится в интервале

.
Более того, я решил попробовать построить контрпример, в котором оно не находилось бы в этом интервале.
И мне кажется что у меня получилось.


При

тут получается



И тогда

,

,

В общем если взять

, то ясным образом выходит

. И получаем

Помогите, пожалуйста, разобраться.