Задача двух сфер

[schekn]

Две пылевые концентрические близкорасположенные друг к другу сферы с радиусами $r_1$ и $r_2$ и одинаковой массы $m$ под действием собственного гравитационного поля начинают движение к центру из состояния покоя.

Необходимо в рамках Ньютоновской теории найти :

1. Примерное место пересечение сфер $r=r_p$
2*. Будет ли второе пересечение $r=r_s$ и если будет, то оценить где (столкновениями частиц пыли пренебречь)

Учесть, что $1\gg(r_2-r_1)/r_1$ и $r_1\gg{mG/c^2}$

P.S. Первую задачу я решил и как мне кажется правильно. На второй вопрос я до конца не смог ответить, но мне кажется он выходит за рамки олимпиадности. Я его оставил на всякий случай, вдруг есть оригинальное решение.

[wrest]

А в чем олимпиадность?
Внутренняя сфера будет сжиматься так, как будто внешней нет (теорема Ньютона) то есть для каждой точки внутренней сферы сила тяжести будет такой же, как если бы сферы не было а вся масса была бы в центре, а внешняя будет сжиматься так, как будто внутренняя вся сосредоточена в центре (не знаю есть ли имя у этого явления), а раз массы одинаковы у сфер, то соответственно точки внешней сферы движутся так, как будто никаких сфер нет, а вся масса ($2m$) сосредоточена в центре.
Когда они пересекутся, внутренняя станет внешней и наоборот, и все повторится. Из условия "пылевые сферы" вытекает, насколько я понимаю, отсутствие всяких взаимодействий кроме гравитационного, в том числе отсутствие столкновений частиц. Из "ньютоновости" вытекает отсутствие всяких СТО и ОТО-эффектов и ограничений на скорости и запаздывания взаимодействий.

Тогда процесс будет колебательный -- после падения в центр сферы опять расширятся.

Если бы это были шары а не сферы, то какая-то изюминка бы наверное появилась.

[realeugene]

wrest в сообщении #1180771 писал(а):

то есть для каждой точки внутренней сферы сила тяжести будет такой же, как если бы сферы не было а вся масса была бы в центре

Как половина массы в центре. Возможно, именно в этом и олимпиадность.

[wrest]

realeugene в сообщении #1180774 писал(а):

Возможно, именно в этом и олимпиадность.

А... вон оно что...

[DimaM]

wrest в сообщении #1180771 писал(а):

Когда они пересекутся, внутренняя станет внешней и наоборот, и все повторится.

Не совсем: будут еще начальные скорости.

[wrest]

DimaM в сообщении #1180778 писал(а):

Не совсем: будут еще начальные скорости.

Да, конечно.

[schekn]

wrest в сообщении #1180771 писал(а):

Тогда процесс будет колебательный -- после падения в центр сферы опять расширятся.

Скажите ответ на первый вопрос в первом приближении.
Я сравню со своим.
Вообще-то , тут я решал 2 раза дифференциальное уравнение и делал разложение в ряд Тейлора. Это конечно может не для всех олимпиадность, но требует аккуратности.
А вот про колебательный процесс - тут вопрос у меня подвис, потому что второе пересечение до того, как они уже достигнут центра, уже получается численным способом, что уже не олимпиадность.

[realeugene]

schekn в сообщении #1180780 писал(а):

Вообще-то , тут я решал 2 раза дифференциальное уравнение и делал разложение в ряд Тейлора.

Зачем? По условию задачи расстояние между кольцами гораздо меньше их размера. До момента пересечения эти кольца пролетят небольшое расстояние вниз по радиусу. До второго - тоже. Радиус вместе с ускорением свободного падения изменится незначительно. Ускорение свободного падения каждого кольца можно считать постоянным и изменяющимся скачком при пересечении колец. Обе задачи вполне решаются школьными методами.

[schekn]

realeugene в сообщении #1180781 писал(а):

Зачем? По условию задачи расстояние между кольцами гораздо меньше их размера. До момента пересечения эти кольца пролетят небольшое расстояние вниз по радиусу. До второго - тоже. Радиус вместе с ускорением свободного падения изменится незначительно. Ускорение свободного падения каждого кольца можно считать постоянным и изменяющимся скачком при пересечении колец. Обе задачи вполне решаются школьными методами.

Может я перемудрил. Тогда дайте ответ.

[AnatolyBa]

Ну, в том приближении о котором говорит realeugene внутренняя сфера до момента первого столкновения пройдет $(r_2-r_1)/2$

[schekn]

AnatolyBa в сообщении #1180784 писал(а):

Ну, в том приближении о котором говорит realeugene внутренняя сфера до момента первого столкновения пройдет $(r_2-r_1)/2$

У меня совсем другой ответ.

[AnatolyBa]

Вы согласны с тем, что ускорение частиц внешней сферы в три раза больше чем ускорение частиц внутренней?

[schekn]

AnatolyBa в сообщении #1180789 писал(а):

Вы согласны с тем, что ускорение частиц внешней сферы в три раза больше чем ускорение частиц внутренней?

да. Я правда решал дальше сложным путем.
У меня получилось:

$$r_p=\frac{3r_1^2-r_2^2}{3r_1-r_2}$$

[AnatolyBa]

Так это то же самое в рассматриваемом приближении.
Я устно решал. Ускорение частицы внешней сферы относительно внутренней в два раза больше ускорения внутренней сферы.
Значит пока внешняя сфера догонит внутреннюю (т. е. пройдет относительное расстояние $r_2-r_1$) - внутренняя сфера пройдет половину от $r_2-r_1$

[schekn]

AnatolyBa в сообщении #1180810 писал(а):

Так это то же самое в рассматриваемом приближении.

Я пытался учесть то, что ускорение переменное.