возвратные последовательности векторов в пространстве

[eugrita]

возвратные последовательности векторов на плоскости
$\vec{r}_{n+1}=A \cdot \vec{r}_n+ \vec{b}$
имеют предел если линейный оператор $A$на плоскости является сжимающим отображением т.е. его его спектральный радиус был бы меньше 1
если записать характеристическое уравнение
$\lambda ^2 +p \lambda +q=0$
где $p=-a_{11}-a_{22}, q=\det(A)=a_{11} \cdot a_{22} -a_{12} \cdot a_{21}$
то достаточно легко получить условия что корни по модулю меньше 1
$q<1$ , $p+q+1>0$ ,$-p+q+1>0$
на плоскости параметров p,q им соответствует внутренность треугольника с вершинами (2,1) (-2,1), (0,-1)
---------------------------------------------------------------------------------------------
Можно ли получить какие-то ограничения на элементы матрицы $a_{ij}$
для 3-мерного линейного оператора?
для n- мерного линейного оператора?

(Если это возможно то полученные условия можно использовать в компьютерной программе моделирующей возвратные последовательности векторов в 3-мерном пространстве.

[Brukvalub]

В конечномерном случае спектральный радиус равен наибольшему из модулей собственных значений. Значит, задача сводится к поиску условий на величину модулей корней характеристического многочлена. Это классическая задача, обзор результатов см., например, здесь.