Для отдельно взятой частицы относительно начала координат угловая скорость равна по определению

Откуда
И согласно второму закону ньютона

Назвав выражение в скобках слева "моментом ипульса"

частицы относительно начала координат, а выражение справа моментом силы

приложенной к ней мы и получим известное соотношение

Очевидно что это соотношение верно и для любой системы частиц, если обозначить

и

. Причем с учетом третьего закона ньютона в первой сумме можно не учитывать силы прикладываемые частицами системы друг к другу и учитывать только внешние силы приложенные к ним
"Твердое тело" в котором все частицы движутся с одной и той же угловой скоростью, это всего лишь удобный частный случай в котором можно вынести

за сумму а оставшуюся сумму назвать "моментом инерции тела". В процессе деформации это уже может оказаться не так и частицы могут оказаться с движущимися с разной угловой скоростью. Если же деформация такая "аккуратная" что угловое ускорение всех частиц оказывается строго равным, то значит вам достаточно дифференцировать суммарный момент инерции
