Диктант и ошибки.

[NL0]

В классе 36 человек. При проверке диктанта в классе оказалось, что грубые ошибки составляют не меньше четверти всех ошибок. Если бы каждый ученик сделал в 3 раза больше грубых ошибок и на 2 больше негрубых, то число грубых ошибок стало бы ровно в 5 раз меньше числа негрубых. Какое наименьшее число учеников могло написать диктант вообще без ошибок?


Пусть $x$ - количество грубых ошибок. $y$ - количество негрубых ошибок.

$N$ - общее количество учеников, допустивших ошибки.

$x\geqslant \dfrac{x+y}{4}$ из этого следует, что $3x\geqslant y$

$3\cdot x\cdot 5=y+2N$.

Получается, что $2N=15x-y=3x+3y+(12x-4y)=3x+3y+4(3x-y)\geqslant 3x+3y$

Тогда $2N\geqslant 3x+3y$, значит $x+y \leqslant \frac{2N}{3}$

Количество людей, сделавших ошибки будет минимальным, когда каждый сделает не более 1 ошибки.

Получается тогда, что треть класса должна сделать ошибки, то есть 12 человек

Правильно ли это? Подскажите, пожалуйста, в какую сторону думать.

-- 27.12.2016, 14:24 --

С другой стороны, графически получается, что шесть человек сделали ошибки. Но как правильно? Можно ли рассуждениями получить, не прибегая к графическому способу, потому как это задача для 6 класса.

[bot]

NL0 в сообщении #1180443 писал(а):

$3\cdot x\cdot 5=y+2N$

А почему здесь N? В условии ведь сказано, что каждый ученик...
Каждый - это каждый, в том числе и тот, который ошибок не сделал.

[NL0]

Спасибо. То есть так? $3\cdot x\cdot 5=y+72$

Но как тогда привязать количество учеников, сделавших ошибки к этой математической модели?

[bot]

NL0 в сообщении #1180462 писал(а):

Но как тогда привязать количество учеников, сделавших ошибки

Очевидно как - их число не больше количества ошибок, а у Вас ещё какое-то неравенство без употребления валяется ...

[NL0]

Спасибо!

Имеем, что $3x\geqslant y$

$15x=y+72$

Тогда $3x=\dfrac{y+72}{5}$

$\dfrac{y+72}{5}\geqslant y$

$y+72\geqslant 5y$

$72\geqslant 4y$

$y\leqslant 18$

Тогда $3x\geqslant 18$, а значит $x\geqslant 6$

Тогда получается, что должно было быть сделано 6 грубых ошибок минимум.

А можно ли сказать, что это только один человек сделал все грубые ошибки и все негрубые?

[bot]

NL0 в сообщении #1180720 писал(а):

$y\leqslant 18$

Тогда $3x\geqslant 18$, а значит $x\geqslant 6$

Вам не кажется что $x$ и $y$ в одном вагоне $15x=y+72$ в разные стороны поехали?

NL0 в сообщении #1180720 писал(а):

А можно ли сказать, что это только один человек сделал все грубые ошибки и все негрубые?

Сказать безусловно можно, а что Вы ищете - максимум или минимум?

[NL0]

Буду разбираться. Честно говоря, пока не понял -- подсказку про вагон. Но вот как рассуждал, здесь подробнее.

В правой части $15x=y+72$ написано суммарное увеличение количества негрубых ошибок . Так как у каждого ученика увеличилось на 2 негрубых ошибки, то у всех учеников увеличилось на 72 негрубых ошибки.

В левой части $15x=y+72$ получается $15x$, так как при увеличении у каждого ученика количества грубых ошибок в 3 раза, суммарное количество ошибок увеличится в 3 раза и станет $3x$.

После того, как произошли увеличения, то в условии сказано, что число грубых ошибок стало бы ровно в 5 раз меньше числа негрубых. В наших обозначениях это означает, что число $3x$ в 5 раз меньше числа $y+72$, математически это можно записать так $15x=y+72$.

По поводу максимума/минимума. Это действительно что-то я затупил... Раз имеется система $y\leqslant 18$ и $x\geqslant 6$ и $15x=y+72$, то есть два целочисленных решения у нее $(6;18)$ и $(5;3)$. Чтобы минимизировать количество тех, кто без ошибок написал, нужно максимизировать тех, кто сделал ошибки. Для этого, в первом случае, количество человек сделавших ошибки не более 24, а во втором случае -- не более 8. Потому нам подойдет первый случай, в котором количество человек, допустивших ошибки -- не более 24. Потому, вроде как, ответ 12. Правильно ли?

[Лукомор]

NL0 в сообщении #1180764 писал(а):

Раз имеется система $y\leqslant 18$ и $x\geqslant 6$ и $15x=y+72$, то есть два целочисленных решения у нее $(6;18)$ и $(5;3)$.

Как-то не стыкуется условие $x\geqslant 6$ с решением $(5;3)$?!

-- Чт дек 29, 2016 13:22:30 --

NL0 в сообщении #1180720 писал(а):

$y\leqslant 18$

Тогда $3x\geqslant 18$,

А это почему, собственно?!

[NL0]

Действительно, не стыкуется условие $x\geqslant 6$ с решением $(5;3)$, виноват, ошибся.

Лукомор в сообщении #1180772 писал(а):

А это почему, собственно?!

Действительно, по второму пункту перепутал.

Используя тот факт, что $3x\geqslant y$, получаем, что $15x\geqslant 5y$, но так как $15x=y+72$, то $y+72\geqslant 5y$

Тогда $72\geqslant 4y$ и $y\leqslant 18$. Но это ничего не дает. Подскажите, пожалуйста, в какую сторону думать?

[DeBill]

NL0 в сообщении #1180922 писал(а):

$y\leqslant 18$. Но это ничего не дает

Да как же не дает, когда у Вас есть явная формула, выражающая $x$ через $y$.

[Лукомор]

NL0 в сообщении #1180922 писал(а):

Подскажите, пожалуйста, в какую сторону думать?

Как говорят в Одессе, думать надо туда и обратно!
В данном конкретном случае, надо думать не только об выразить $3x$ из уравнения $15x=y+72$ и, подставить его в неравенство $3x\geqslant y$, но и наоборот: выразить $y$ из того же уравнения, и подставить его в то же неравенство...

[NL0]

Спасибо! $3x\geqslant 15x-72$, тогда $-12x\geqslant -72$, значит $x\leqslant 6$. Но тогда получается, что $y\leqslant 3x\leqslant 18$. Значит $y\leqslant 18$, значит получается, что $x+y\leqslant 24$, получается более 24 человека не могли сделать ошибки. Можно сделать так, чтобы все 24 человека сделали ошибки, но тогда каждый из них сделал по одной ошибке. Тогда ответ на задачу 12. Правильно ли будет так?

[Лукомор]

NL0 в сообщении #1180935 писал(а):

Правильно ли будет так?

Да.

[NL0]

Спасибо, а действительно ли задача имеет однозначную интерпретацию? Действительно, что однозначно в задаче имеется ввиду, что количество ошибок увеличивается в том, числе у тех, кто ошибок не делал вовсе?

[bot]

Я уже говорил

bot в сообщении #1180452 писал(а):

В условии ведь сказано, что каждый ученик

Если бы хотели сказать то, что Вы подумали, то сказали бы по-другому

NL0 в сообщении #1180443 писал(а):

Если бы каждый ученик, допустивший хотя бы одну ошибку, сделал ...