Швартовка корабля и парадокс Зенона

[ashubert]

Помогите понять: вот тут http://elementy.ru/trefil/53/Paradoks_Zenona описывается "решение" парадокса Зенона. Где в частности говорится, что при уменьшении расстояния, уменьшается также и время, которое необходимо, чтобы его пройти, и бесконечная сумма бесконечно малых отрезков времени имеет конечный предел.

А вот тут: http://www.ega-math.narod.ru/Arnold2.htm Владимир Арнольд пишет:
Замечу, впрочем, что та же теорема единственности объясняет, почему заключительный этап швартовки корабля к пристани проводится вручную: при управлении, когда скорость причаливания определяется как гладкая (линейная) функция от расстояния, для причаливания потребовалось бы бесконечное время. Альтернативой является удар о причал (демпфируемый надлежащими неидеально упругими телами).

Я не совсем понимаю, как второе совмещается с первым?

[Brukvalub]

ashubert, я чё-то не понял, к какой пристани в первой ссылке швартовался Зенон?

[Munin]

ashubert в сообщении #1180050 писал(а):

Я не совсем понимаю, как второе совмещается с первым?

Это вообще совершенно разные вещи. И не заморачивайтесь, пока не понимаете второе. Это на несколько этажей математики выше.

[dsge]

Экспоненты и прямые примерно на одном этаже, в районе 8-го класса.

[Munin]

Ага. А теория управления примерно на 3 курсе.

[dsge]

ashubert в сообщении #1180050 писал(а):

Владимир Арнольд пишет:
Замечу, впрочем, что та же теорема единственности объясняет, почему заключительный этап швартовки корабля к пристани проводится вручную: при управлении, когда скорость причаливания определяется как гладкая (линейная) функция от расстояния

Если ТС знает определение производной и начало таблицы производных, то легко проверит для какой функции "скорость причаливания определяется как линейная функция от расстояния".

[Munin]

Как хотите... Главное. что с Зеноном это имеет чуть меньше, чем ничего общего.

[ewert]

ashubert в сообщении #1180050 писал(а):

Владимир Арнольд пишет:
[i]Замечу, впрочем, что та же теорема единственности объясняет, почему заключительный этап швартовки корабля к пристани проводится вручную: при управлении, когда скорость причаливания определяется как гладкая (линейная) функция от расстояния, для причаливания потребовалось бы бесконечное время.

Владимир Арнольд тут экстремист, как иногда бывал. Теорема единственности тут совершенно не при чём, а при чём -- дискретность отсчётов при практических управлениях. Тут коллизия именно с гладкостью, но ни разу не с единственностью. Ну погорячился, бывает.

[Munin]

ewert в сообщении #1180101 писал(а):

а при чём -- дискретность отсчётов при практических управлениях.

[dsge]

ashubert в сообщении #1180050 писал(а):

когда скорость причаливания определяется как гладкая (линейная) функция от расстояния

$\dot{x} =- a x $

ewert в сообщении #1180101 писал(а):

Теорема единственности тут совершенно не при чём

Линейная функция является Липшитцевой, следовательно гарантируется единственность. Возможно, это имел ввиду Арнольд.

[Munin]

Единственность подразумевается в точке $x=0.$

[dsge]

Ну, да, поэтому он её никогда не достигнет. Так что Арнольд никакой не "экстремист", а вполне корректен.

[ashubert]

В первой ссылке:
парадокс Зенона знаком именно в приведенной выше формулировке (ее иногда называют дихотомией — от греч. dichotomia «разделение надвое»). Чтобы пересечь комнату, сначала нужно преодолеть половину пути. Но затем нужно преодолеть половину того, что осталось, затем половину того, что осталось после этого, и так далее. Это деление пополам будет продолжаться до бесконечности, из чего делается вывод, что вам никогда не удастся пересечь комнату.

Если подставить вместо "пересечь комнату" - "причалить" - то получится нам никогда не удастся "причалить".

Однако парадокс Зенона имеет математическое "решение" (Действительно, в каждой точке пути вам надо пройти половину оставшегося пути, но только на это вам понадобится в два раза меньше времени. Чем меньший путь осталось пройти, тем меньше времени на это понадобится. Таким образом, вычисляя время, нужное для того, чтобы пересечь комнату, мы складываем бесконечное число бесконечно малых интервалов. Однако сумма всех этих интервалов не бесконечна (иначе пересечь комнату было бы невозможно), а равна некоторому конечному числу — и поэтому мы можем пересечь комнату за конечное время

...Но хотя и расстояние, и время уменьшаются (и в конечном счете стремятся к нулю), их отношение может быть конечным — собственно, это и есть скорость вашего движения. Когда и расстояние, и время стремятся к нулю, это отношение называется пределом скорости. В своем парадоксе Зенон ошибочно исходит из того, что, когда расстояние стремится к нулю, время остается прежним.),

тогда как с этим согласуется текст В. Арнольда (Замечу, впрочем, что та же теорема единственности объясняет, почему заключительный этап швартовки корабля к пристани проводится вручную: при управлении, когда скорость причаливания определяется как гладкая (линейная) функция от расстояния, для причаливания потребовалось бы бесконечное время.)?

[ewert]

dsge в сообщении #1180106 писал(а):

Возможно, это имел ввиду Арнольд.

Он совсем не это имел в виду. Он имел в виду, что любой вывод из теории может быть верен или неверен лишь в пределах погрешности эксперимента. Но высказался настолько неудачно, что его слова приобрели совершенно противоположный смысл:

Цитата:

решение уравнения Мальтуса dx/dt = x однозначно определяется начальными условиями (т.е. что соответствующие интегральные кривые на плоскости (t, x) не пересекают друг друга). Этот вывод математической модели имеет мало отношения к реальности. Компьютерный эксперимент показывает, что все эти интегральные кривые имеют общие точки на отрицательной полуоси t. И действительно, скажем, кривые с начальными условиями x(0) = 0 и x(0) = 1 при t = –10 практически пересекаются, а при t = –100 между ними нельзя вставить и атома. Свойства пространства на столь малых расстояниях вовсе не описываются евклидовой геометрией.

[dsge]

ashubert в сообщении #1180119 писал(а):

тогда как с этим согласуется текст В. Арнольда?

У Арнольда скорость стремится к нулю, у Зенона нет.