Ротор от функции

[Grand.Master]

Подскажите, пожалуйста, как можно найти ротор от функции, которая внутри себя имеет вектор.
например, ротор, от функции $\cos (\vec r)$

[Munin]

Видимо, ротор всё-таки от векторной функции.

[Grand.Master]

Munin в сообщении #1179475 писал(а):

Видимо, ротор всё-таки от векторной функции.

Ну да, и как это возможно посчитать?)

[Pphantom]

Grand.Master в сообщении #1179476 писал(а):

Ну да, и как это возможно посчитать?)

Как обычно. Просто пример Вы привели на редкость неудачный, поскольку что такое косинус вектора, неведомо.

[Metford]

Да и сам по себе косинус как-то не тянет на вектор.

[iifat]

(Оффтоп)

Metford в сообщении #1179484 писал(а):

косинус как-то не тянет на вектор

Это всем известный косинус угла не тянет на вектор. Никому же не ведомый косинус вектора может оказаться чем угодно. Вообще чем угодно.

[Metford]

(Оффтоп)

iifat в сообщении #1179487 писал(а):

Никому же не ведомый косинус вектора может оказаться чем угодно. Вообще чем угодно.

Ну, если только так...

[arseniiv]

(Оффтоп)

Угу. $\cos\mathbf v = 1 - \frac{\mathbf v\wedge\mathbf v}{2!} + \frac{\mathbf v\wedge\mathbf v\wedge\mathbf v\wedge\mathbf v}{4!} - \ldots = 1$ (упс, не та алгебра).

[Dan B-Yallay]

(Оффтоп)

или $\cos(x, y, z) = (\cos x ,\cos y ,\cos z)$

[Munin]

Для начала, https://en.wikipedia.org/wiki/Chain_rule .

-- 23.12.2016 19:45:41 --

Напрямую применять chain rule напряжно, потому что там матрицы Якоби и их произведения. Поэтому зайдём с другой стороны.

Как взять ротор от явно выписанной формулы? А из чего состоят формулы? Из арифметических операций и элементарных функций. Как дифференцировать операции, мы хорошо знаем:
https://en.wikipedia.org/wiki/Del
А вот функции, на наше счастье, мы знаем (и используем в формулах) только скалярные от скалярного аргумента. Даже функция модуля вектора $|\vec{r}|=\sqrt{\vec{r}\cdot\vec{r}}$ - сводится к функции квадратного корня от скалярного аргумента.

Итого, нам нужно найти способ дифференцировать выражения типа $(\operatorname{grad},\operatorname{div},\operatorname{rot})\mathrm{Formula}_1[f(\mathrm{Formula}_2[\vec{r}])].$ Вначале разберём внешнюю формулу, чтобы довести дифференцирование непосредственно до нашей функции $f.$ В результате, получим единственный вариант:

$\operatorname{grad}f(\mathrm{Formula}[\vec{r}]).$

Все остальные сведутся к нему (неудивительно, потому что он есть $\nabla\otimes f$). Теперь применяем chain rule, в данной ситуации довольно просто:

$\operatorname{grad}f(\mathrm{Formula}[\vec{r}])=f'(\mathrm{Formula}[\vec{r}])\,\operatorname{grad}\mathrm{Formula}[\vec{r}].$

Пример:
$\operatorname{rot}(\vec{\imath}\cos(|\vec{r}|))=?$

$\operatorname{rot}(\vec{\imath}\cos(|\vec{r}|))=\operatorname{grad}\cos(|\vec{r}|)\times\vec{\imath}+\cos(|\vec{r}|)\operatorname{rot}(\vec{\imath})=\operatorname{grad}\cos(|\vec{r}|)\times\vec{\imath}=$
$=(-\sin|\vec{r}|)(\operatorname{grad}|\vec{r}|)\times\vec{\imath}=(-\sin|\vec{r}|)\dfrac{\vec{r}}{|\vec{r}|}\times\vec{\imath}$