Нахождение оптимального управления

[ashtynbamba]

Задача:

Живём на отрезке $t\in[0,1]$. Фазовые координаты изменяются по следующему закону:

$x=(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)$;

$\frac{dx}{dt}=(x_4, x_4^2, 2x_4x_5, u, 1)$,

т.е притворяемся, что время $t$ -- это пятая фазовая координата. Здесь $u=u(t)$ -- управление, причём

$\forall t: u(t) \geqslant 0$.

Нужно найти управление $u(t)$, экстремизирующее (ну пускай, для определённости, минимизирующее) функционал

$\int\limits_0^1 3x_4(t)x_5^2(t) dt$,

при заданных начальном и конечном условиях

$x(0) = (0, 0, 0, 0, 0)$,

$x(1) = (0, 1, \xi, V, 1)$,

где V -- вариация некоторой неубывающей функции на [0,1] (вообще говоря, может быть и бесконечной). Собственно, $u(t)$ и будет являться производной этой самой неубывающей функции.

Мои попытки:

Положим
$f(t, x(t), u(t)) = 3x_4(t)x_5^2(t)$,
$\dot x = \varphi(t, x(t), u(t)) = \left( x_4(t), x_4^2(t), 2x_4(t)x_5(t), u(t), 1 \right)$,
$\bar\lambda = (\lambda_0, p(.))$, где $\lambda_0$ -- вещественное число, а $p(.)$ -- пятимерная вектор-функция.
$L = \lambda_0 f(t, x, u) + p(t) \cdot (\dot x - \varphi(t, x, u))$ -- лагранжиан.

Пытаюсь вписаться в принцип максимума Понтрягина. А именно, вписавшись в необходимые условия экстремума, найти те "подозрительные на экстремум" $u(t)$, которые, возможно, доставляют этот самый экстремум в нашей задаче. А потом уже ориентироваться по ситуации.)
Необходимые условия минимума:
1) $-\dot{p}(t) = p(t)\varphi_x(t) - \lambda_0 f_x(t)$ (уравнения Эйлера-Лагранжа),
2) Функция Понтрягина $H = p(t)\varphi(t,x,u) - \lambda_0 f(t,x,u)$ достигает на u(t) своего максимума.

Расписамши всё это дело, получаю следующую систему:

$\left\{ \begin{aligned} p_1(t) &= C_1,\\ p_2(t) &= C_2,\\ p_3(t) &= C_3,\\ \dot{p}_4(t) &= 3\lambda_0 t^2 - C_1 - C_2 x_4(t) - 2C_3 t,\\ \dot{p}_5(t) &= 6\lambda_0 t x_4(t) - 2C_3x_4(t),\\ H &= C_1 x_4(t) + C_2 x_4^2(t) + 2C_3 t x_4(t) + p_5(t) - 3\lambda_0 t^2 x_4(t) + p_4(t) u(t) \rightarrow \underset{u\geqslant0}{\max} \end{aligned} \right.$

А вот что дальше с этой системой делать -- непонятно. Книжные примеры все хитренькие: у них система уравнений Эйлера очень технично всё время разрешается относительно введённых лямбд и вектор-функций. А здесь вот $x_4$ залезло.
Быть может, я делаю что-то не так, применяя принцип максимума?
Или, например, не вижу какого-то очевидного следующего (или промежуточного) шага?

Буду рад любым комментариям!

[mserg]

Ну, раз никто не пишет, давайте я попробую...

Раз управление $u(t)$ неотрицательно, значит $x_4(t)$ - не убывает, и, в силу начальных условий, тоже не отрицательно. Раз пошла такая пьянка, значит неотрицательная и производная $x_1(t)$ ... а если учесть начальные условия, то и вовсе равна нулю. А значит и $x_4(t)$ равна нулю ... но, и $x_2(t)$ имеет нулевую производную, и ... в силу начальных условий получаем противоречие.

Что-то здесь не так...

UPD. Не понял с вариацией... может забыл уже, школу давно закончил

[ashtynbamba]

Да, вы, конечно, правы.

Подкорректируем условие задачи так:

ashtynbamba в сообщении #1179146 писал(а):

$x(0) = (0, 0, 0, a, 0)$,

$x(1) = (0, 1, \xi, b, 1)$,

где $a$ и $b$ -- некоторые вещественные числа, $a<b$.

[VPro]

Ваша коррекция ничего не изменила, постановка задачи осталась некорректной. Краевым условиям $x_1(0)=x_1(1)=0$ удовлетворяет только $u\equiv0.$ Откуда следует $x_2(1)=x_3(1)=x_4(1)=0.$

[ashtynbamba]

Я сперва очень лихо придумал начальную точку, прошу прощения за неаккуратность.

Давайте считать, что
$x(0) = (a_1, a_2, a_3, a_4, 0)$,
$x(1) = (0, 1, \xi, b_4, 1)$,
где все $a_i \leqslant 0$ -- некоторые вещественные числа.