Комбинаторика связных областей дискретной решётки

[fractalon]

Пусть дан состоящий из отдельных дискретных ячеек прямоугольник (или даже тор) размером $n \times m$. Назовём фигурой множество ячеек, где от любой к любой другой можно перейти шагая влево, вправо, вверх, вниз.
Сколько существует различных фигур на прямоугольнике $n \times m$? А на торе? А не вообще фигур, а только односвязных? А двусвязных? А фигур определённого размера (из данного количества ячеек)?
Так много вопросов сразу фантазируется... Пыталась ли наука на какие-то из них отвечать?

[maxal]

Обобщения полимино