[Теория категорий] Контравариантность экспоненциала

[Mysterious Light]

Пусть $f: a\to b$ — морфизм категории $\mathcal{C}$. Тогда для любого морфизма $i: b \to \Omega$ имеем $i\circ f: a \to \Omega$ и (в соответствующих предположениях, напр. в д.з.к.) для любого $\hat{i} : 1\to \Omega^b$ строим $\widehat{i\circ f}: 1\to \Omega^a$. Так определяются функции

$$\mathrm{Hom}(a,b) \to \mathrm{Hom}_{\mathrm{Set}} (\mathrm{Hom}(b,\Omega),\mathrm{Hom}(a,\Omega))$$

$$\mathrm{Hom}(a,b) \to \mathrm{Hom}_{\mathrm{Set}} (\mathrm{Hom}(1,\Omega^b),\mathrm{Hom}(1,\Omega^a)).$$

Существует ли морфизм $\bar{f}: \Omega^b\to\Omega^a$ такой, что $\hat{i}\circ\bar{f} = \widehat{i\circ f}$?
Какие минимальные требования следует выставить категории, чтобы в ней такой морфизм присутствовал?

P.S. $\Omega$ — произвольный объект, но в частности интересует классификатор (если $\mathcal{C}$ топос).
P.P.S. заинтересовал вопрос о построении ковариантного и контравариантного функтора булеана. В Set $A\mapsto 2^A$ можно сделать ковариантным $(f:A\to B)\mapsto \{ f(x) | x\in A \} : 2^A\to 2^B$ и контравариантным $(f:B\to A) \mapsto \{x | f(x) \in A\} : 2^A\to 2^B$. Стало интересно, как в других категориях с этим обстоят дела.