Правило вычисления суммы произведений.

[Solaris86]

Здравствуйте. Никак не могу понять, почему именно так вычислена сумма произведений:
$\sum_{\substack{p=1}}^3\prod_{\substack{q=1}}^pa_pb_q = a_1b_1 + a_2b_1 + a_2b_2 + a_3b_1 + a_3b_2 + a_3b_3$
Взято отсюда (страница 5):
http://lib.usue.ru/resource/free/10/Mel ... mSigma.pdf
Я так рассуждаю: сначала вычисляем произведения, потому их суммируем. Но я не понимаю, как вычислять произведения, когда не один элемент сам на себя $\prod_{\substack{q=1}}^pb_q = b_1b_2...b_p$, а два сразу $\prod_{\substack{q=1}}^pa_pb_q$? Я могу рассуждать так: раз вычислению идут по индексу произведения $q$, а не по $p$, то элемент $a_p$ можно вынести перед знаком произведения: $\prod_{\substack{q=1}}^pa_pb_q = a_p\prod_{\substack{q=1}}^pb_q$ Но всё равно не получается так, как написано в примере выше...

[venco]

Там просто ошибка. Вычисленное выражение соответствует случаю, когда слева две суммы.

[Лукомор]

Solaris86 в сообщении #1176702 писал(а):

Но всё равно не получается так, как написано в примере выше...

Ну да, там две суммы должно быть...

[Solaris86]

Снова пришлось вернуться к этой теме.
Прошу проверить правильность написанного ниже:

$\sum_{\substack{p=1}}^3\sum_{\substack{q=1}}^pa_pb_q = \sum_{\substack{q=1}}^1a_1b_q + \sum_{\substack{q=1}}^2a_2b_q + \sum_{\substack{q=1}}^3a_3b_q = a_1\sum_{\substack{q=1}}^1b_q + a_2\sum_{\substack{q=1}}^2b_q + a_3\sum_{\substack{q=1}}^3b_q = a_1b_1 + a_2(b_1 + b_2) + a_3(b_1 + b_2 + b_3)$
$\sum_{\substack{p=1}}^3\prod_{\substack{q=1}}^pa_pb_q = \prod_{\substack{q=1}}^1a_1b_q + \prod_{\substack{q=1}}^2a_2b_q + \prod_{\substack{q=1}}^3a_3b_q = a_1\prod_{\substack{q=1}}^1b_q + a_2\prod_{\substack{q=1}}^2b_q + a_3\prod_{\substack{q=1}}^3b_q = a_1b_1 + a_2(b_1b_2) + a_3(b_1b_2b_3)$
$\prod_{\substack{p=1}}^3\sum_{\substack{q=1}}^pa_pb_q = \sum_{\substack{q=1}}^1a_1b_q \cdot \sum_{\substack{q=1}}^2a_2b_q \cdot \sum_{\substack{q=1}}^3a_3b_q = a_1\sum_{\substack{q=1}}^1b_q \cdot a_2\sum_{\substack{q=1}}^2b_q \cdot a_3\sum_{\substack{q=1}}^3b_q = a_1b_1 \cdot a_2(b_1 + b_2) \cdot a_3(b_1 + b_2 + b_3)$
$\prod_{\substack{p=1}}^3\prod_{\substack{q=1}}^pa_pb_q = \prod_{\substack{q=1}}^1a_1b_q \cdot \prod_{\substack{q=1}}^2a_2b_q \cdot \prod_{\substack{q=1}}^3a_3b_q = a_1 \cdot \prod_{\substack{q=1}}^1b_q \cdot a_2\prod_{\substack{q=1}}^2b_q \cdot a_3\prod_{\substack{q=1}}^3b_q = a_1b_1 \cdot a_2(b_1b_2) \cdot a_3(b_1b_2b_3)$