Задача по геометрии

[Альбатрос]

Добрый день!

Прошу помочь с решением задачи по геометрии. Условие: Дан треугольник ABC. На стороне AB задана точка K, а на продолжении стороны AC за точку C задана точка L, причем KB=CL. Прямая, проходящая через точку M пересечения отрезков KL и BC, параллельно биссектрисе угла BAC, пересекает прямую AC в точке N. Найдите длину отрезка MN, если известно, что ML=18, AB=36•sin 36°, а угол BAC равен 72°.
Я решал задачу с помощью тригонометрических функций: рассматривал несколько треугольников, выписывал отношения сторон и в итоге смог выразить длину искомого отрезка через длину ML и синусы нескольких углов. Но синус одного из необходимых для вычисления углов получился отрицательным, и сам угол - тоже. Притом, оказалось, что искомый MN равен синусу противолежащего угла.
Возможно, я пошел не тем путем, и решать нужно не через тригонометрические функции, а, например, через окружности, достраивая рисунок?

P.S. Кстати, верный рисунок к задаче можно построить, только если треугольник ABC - прямоугольный. Но в условии задачи это не оговаривается. Если это действительно так, то как это доказать?
Заранее благодарю.

[Алексей К.]

Альбатрос писал(а):

Я решал задачу с помощью тригонометрических функций: рассматривал несколько треугольников, выписывал отношения сторон и в итоге смог выразить длину искомого отрезка через длину ML и синусы нескольких углов. Но синус одного из необходимых для вычисления углов получился отрицательным, и сам угол - тоже...

Что Вам помешало просто привести свои попытки решения? Неумение писать формулки? Без этого здесь трудно проскочить... А ежели кто-то, умеющий их писать, напишет решение --- его оштрафуют или выгонят (тут такие дядьки злые ходят, модераторами почему-то называются, а на самом деле менты). Простые фразы типа $\angle CNM=36^\circ$ или $AB=36\cdot\sin 36^\circ$ приходится наколачивать как

$\angle CNM=36^\circ$
$AB=36\cdot\sin 36^\circ$

А как Вам удалось без этих фокусов наколотить умножение и градусы ---

Альбатрос писал(а):

AB=36•sin 36°

--- не представляю. Расскажите пожалста. Или это из Worda делается? Тогда наверное и сам сумею...

Добавлено спустя 5 минут 55 секунд:

Задачка конечно муторная некрасивая надуманная искусственная. Не для пятницы.

[ИСН]

Алексей К. писал(а):

А как Вам удалось без этих фокусов наколотить умножение и градусы ---
[...]
--- не представляю. Расскажите пожалста.

Отметим, что Вам (в цитате) это де-факто тоже удалось, так что вопрос сам является ответом на себя.

[Алексей К.]

ИСН писал(а):

Отметим, что Вам (в цитате) это де-факто тоже удалось, так что вопрос сам является ответом на себя.

В цитате это процитировалось as is (as was), и секрет не раскрылся.
Вы, любезный ИСН, как всегда, отличаетесь сестрой своего таланта.

[Злата]

Здравствуйте! Помогите, пожалйста, решить задачу по теории вероятностей

[Brukvalub]

Злата писал(а):

Здравствуйте! Помогите, пожалйста, решить задачу по теории вероятностей

Итак я сосредотачиваюсь, сосредотачиваюсь,...и ментальная свясь с Вами установлена! Сейчас начну писать решение задачи, условие которой я нашел в Вашем мозгу! Ждите!

[нг]

Альбатрос
Поменяйте, пожалуйста заголовок темы (заголовок первого сообщения, ) на информативный, т.е. отражающий существо вопроса.

Злата
Пожалуйста, начните новую тему, если Вам нужна помощь. (То, что Вы, скорее всего ненамеренно проделали, называется на форумах захватом темы.) Ну и, разумеется, объясните, какая именно помощь нужна.

Brukvalub:
Ага, я тот самый злой дядька. И хочу Вас попросить быть чуть-чуть более сдержанным. Я понимаю, что пятница …

[off-top]Я знаю два способа ввода символом. Для своих любимых я просто помню коды в unicode и ввожу на цифровой клавиатуре. Для нелюбимых есть charmap.[/off-top]

[Альбатрос]

Уважаемые форумчане!
Учел ошибки, исправляюсь.

Условие задачи:
Дан треугольник ABC. На стороне AB задана точка K, а на продолжении стороны AC за точку C задана точка L, причем KB=CL. Прямая, проходящая через точку M пересечения отрезков KL и BC, параллельно биссектрисе угла BAC, пересекает прямую AC в точке N. Найдите длину отрезка MN, если известно, что ML=18, $AB=36\cdot\sin 36^\circ$, а $\angle BAC=72^\circ$.

Начал решать, применяя теорему синусов, и зашел в тупик. Решал следующим образом:

Провел отрезок MF, параллельный AB, который пересек сторону AC в точке F. Принял $\angle MCN=\beta$ и $\angle MLC=\alpha$.
Рассматривал треугольник MNF. У него по теореме синусов:
$\frac{MN}{\sin108^\circ}$=$\frac{MF}{\sin36^\circ}$
Аналогично, в треугольнике FMC:
$\frac{MF}{\sin\beta}$=$\frac{MC}{\sin72^\circ}$
В треугольнике MCL:
$\frac{MC}{\sin\alpha}$=$\frac{ML}{\sin\beta}$
Затем я выражал $\beta$ через $\alpha$, но в итоге получил, что $\frac{1}{\sin\alpha}$=$\frac{1}{\sin\alpha}$. Пробовал выразить MN через ML – тоже безуспешно.

При попытке построить рисунок получается, что треугольник ABC - прямоугольный. В условии задачи это не оговаривается. Есть подозрение, что необходимо достроить окружность и выражать MN через ее радиус? Или решать с помощью афинских преобразований?
Прошу помочь с выбором правильного направления решения.

[Brukvalub]

Попробуйте так: 1.

\[ \frac{{AB}}{{MF}} = \frac{{BC}}{{MC}} = \frac{{BM + MC}}{{MC}} = 1 + \frac{{BM}}{{MC}} = 1 + \frac{{\sin (72^ \circ + \alpha )}}{{\sin (\alpha )}} \Rightarrow MF = \frac{{36\sin (36^ \circ )\sin (\alpha )}}{{\sin (\alpha ) + \sin (72^ \circ + \alpha )}}\]

2.

\[ \frac{{MF}}{{\sin (\alpha )}} = \frac{{18}}{{\sin (72^ \circ )}} \Rightarrow MF = \frac{{18\sin (\alpha )}}{{\sin (72^ \circ )}} \]

3. Теперь приравняем результаты из 1. и 2. Получим уравнение:

\[ \sin (\alpha ) + \sin (72^ \circ + \alpha ) = 2\sin (36^ \circ )\sin (72^ \circ ) \]

Из этого уравнения Вам нужно найти значение какой-либо триг. функции угла

\[\alpha \]

Учитывая, что

\[ MN = 2MF\cos (36^ \circ ) = \frac{{18\sin (\alpha )}}{{\sin (36^ \circ )}} \]

, нужно и искать что-нибудь близкое к

\[ \frac{{\sin (\alpha )}}{{\sin (36^ \circ )}} \]

Также следует учесть, что

\[ \sin (36^ \circ )\;,\;\cos (36^ \circ )\;,\;\sin (72^ \circ ) \]

и т.п. эффективно вычисляются в радикалах. Итак, за дело!

[Альбатрос]

Большое спасибо, Brukvalub! Вы мне очень помогли. Теперь, думаю, разберусь.

[Батороев]

Альбатрос писал(а):

Условие задачи:
Дан треугольник ABC. На стороне AB задана точка K, а на продолжении стороны AC за точку C задана точка L, причем KB=CL. Прямая, проходящая через точку M пересечения отрезков KL и BC, параллельно биссектрисе угла BAC, пересекает прямую AC в точке N. Найдите длину отрезка MN, если известно, что ML=18, $AB=36\cdot\sin 36^\circ$, а $\angle BAC=72^\circ$.

А не может ли быть так, что Вы неправильно переписали условие задачи?
Например, при $AB=36\cdot\cos 36^\circ$ построения очень даже симпатичные (треугольник $ ABL $ - равнобедренный, где $ AB = AL $, $ M $ - центр описанной вокруг него окружности).

[Альбатрос]

Условие задачи переписано верно.

[Батороев]

Поясню, откуда мои сомнения.
Выполнив примерные построения по условиям задачи, провел из вершины $ A $ перпендикуляр к $ AB $, затем из вершины $ B $ под углом $ 36^\circ $ к этому перпендикуляру провел линию до пересечения с ним в т. $ D $.
После этих построений проанализировал, какие необходимо провести перестроения в чертеже, чтобы сторона $ BD $, стала равной двум $ ML $, и особых вариантов не увидел.

[Asalex]

А почему

Brukvalub писал(а):

\[ \frac{{BM}}{{MC}} = \frac{{\sin (72^ \circ + \alpha )}}{{\sin (\alpha )}}

[Brukvalub]

По т. синусов.