Интеграл от модуля

[StaticZero]

Есть полином третьей степени $P_3(x)$, чьи коэффициенты известны (в смысле, даны, но могут быть любые). Нужно предложить точную квадратурную формулу для величины

$$ \int \limits_{-1}^{+1} |P_3(x)| \ \mathrm dx. $$

Как это сделать для обычного многочлена вроде понятно. Но что сделать с модулем? Всё, что пока надумал, это выделить все корни многочлена и разбить на интервалы

$$ [-1, a_1], [a_2, a_3], \ldots, [a_k, +1]. $$

А там снова делать линейное преобразование и брать интегралы по отдельности на каждом интервале. Только мне не очевидно, как найти тогда общую квадратурную формулу. Да и обязательно ли знать корни полинома, чтобы получить требуемое?

-- 03.12.2016, 00:07 --

Вот ещё надумал: пусть $f_+$ -- полином на тех участках, где он больше нуля, а на остальных он равен нулю. Аналогично $f_-$ -- полином на тех участках, где он меньше нуля, а на остальных нуль. Обозначим соответствующие интегралы по $[-1, 1]$ за $S_+$ и $S_-$. Тогда есть равенства

$$ \begin{align*} S_+ + S_- &= \int \limits_{-1}^{+1} \ldots, \\ S_+ - S_- &= \int \limits_{-1}^{+1} |\ldots|. \end{align*} $$

Во-первых, можно тогда составить $S_+$ и $S_-$ из отдельных интегральных сумм, описываемых точными квадратурными формулами. Либо взять одну из них и вычислить в качестве второго параметра $\int \limits_{-1}^{+1} \ldots$, из этих формул сложением и преобразованием вычислим нужный интеграл.

Но вопрос не снимается. Именно: это правильно, или я горожу велосипед и чего-то не понял из учебника? (Передо мной лежит Калиткин "Численные методы"). Обязательно ли знать корни?

[iifat]

Как понимаю, точную квадратурную формулу можно получить исключительно для многочленов. То бишь,

StaticZero в сообщении #1173741 писал(а):

выделить все корни многочлена и разбить на интервалы

— можно и без того, но точной квадратуры не получится.

[alisa-lebovski]

Точную квадратурную формулу без знания корней построить нельзя, но можно приближенную, по которой на отрезках разбиения, где многочлен меняет знак, заменять его линейной функцией. Ошибка интеграла составит $O(h^3)$.

[StaticZero]

Разобрался вроде бы. Корни действительно необходимы, иначе модуль не обработать...