ищу почти устные задачи для школьников

[kolya17]

Добрый день !

Ищу примеры задач, с простой формулировкой, разного уровня сложности.
Для которых не требуется каких-то сверхвысоких вычислений.
Более того, они все должны решаться практически в уме (человек средних-старших классов школы).
Ну разве что примитивные построения на черновике.


Приведу примеры:

1. (детская) Едут две машины, скорость одной в два раза больше другой.
Расстояние между ними не меняется.
Может ли такое быть ?

2. Гоночная машина прошла первый круг гонки со скоростью 200 км/ч
С какой скоростью ей следует двигаться второй круг, чтобы средняя скорость обоих кругов была 300 км/ч ?

3. Дана усечёная пирамида с основанием треугольник.
Могут ли её грани быть попарно перпендикулярно друг другу ?
(на самом деле задача задаётся немного в шулерском варианте, т.е. делается упор на усечённость пирамиды, чтоб решаемый не сразу догадался откинуть лишнее условие)

4. Едет гусеничная техника (танк, трактор ...) с достаточно большой длиной гусеницы со скоростью 10 км/ч.
С какой скоростью и куда движется верхняя средняя точка гусеницы относительно земли?
А нижняя средняя ?

5. Дан луч разбитый на отрезки по 1 см.
Случайным образом на луч сажается кролик (ровно на точку пересечения отрезков)
За один ход кролик прыгает влево или вправо на соседнюю точку с вероятностью (выбора направления) 1/2
Какова вероятность (при бесконечном числе прыжков) что кролик свалится с луча (достигнет его начала) ?


Т.е. сложные для школы, но зная ключ (дирихле, раскраска, инвариант, индукция ...) или обладая логикой решаются влёт.
Из сборников олимпиад такие сложно вычленять.
Можно кидать ссылками.
Сам в поиске облазил этот форум и похожие, так же накачал сборники олимпиад для последующего поиска.

Заранее спасибо !

[zcorvid]

(Оффтоп)

kolya17 в сообщении #1173164 писал(а):

5. Дан луч разбитый на отрезки по 1 см.
Случайным образом на луч сажается кролик (ровно на точку пересечения отрезков)
За один ход кролик прыгает влево или вправо на соседнюю точку с вероятностью (выбора направления) 1/2
Какова вероятность (при бесконечном числе прыжков) что кролик свалится с луча (достигнет его начала) ?

Что-то эту задачу в уме решить не удалось. Она точно простая? Там подвох какой-то? Не очень понятно, что значит "кролик сажается на случайную точку", точек бесконечное количество, поэтому нельзя равновероятно выбирать начальную точку.

Ну и далее, допустим кролик сидит на расстоянии одного прыжка от начальной точки, с вероятностью 1/2 он прыгнет влево (и свалится), с вероятностью 1/2 прыгнет вправо и теперь ему надо уже упрыгивать с расстояния 2 прыжков. Обозначим вероятность сваливания при начальной точке "$k$ прыжков" через $P_k$, тогда имеем уравнения:

$$ P_0 = 1, P_1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot P_2 $$ $$ P_k = \frac{1}{2} \cdot P_{k - 1} + \frac{1}{2} \cdot P_{k + 1} $$

Попробовал это порешать сейчас на бумажке, что-то не очень ясно, как это вообще можно решить. Возможно я подзабыл случайные процессы. В любом случае, то, что сейчас начал расписывать это явно не решение "в уме" . В задаче подвох? Или же она действительно сложная?

Если задача имеет настоящее правильное и красивое решение - прошу не раскрывать его сразу, лучше сам подумаю, да и другие, думаю, со мной в этом согласятся.

[kolya17]

Эту задачу предложил нам А.Я. Канель-Белов
И признаюсь честно, я забыл её решение (((
Но учитывая что аудиторию составляли тогда ученики 8-10 класса, думаю она простая.
Попробую вспомнить.

П.С. пусть в условии будет "сажаем кролика на достаточно большом расстоянии от начала луча", ну или как там сейчас в задачах пишется ...

[zcorvid]

Внимание, под спойлером "спойлер решению задачи про кроликов"

(Оффтоп)

Сейчас подумал про кроликов, там ужас выодит что-то. Посчитаем вероятность не свалиться, для простоты пусть кролик изначально находился на точке "1 прыжок", закодируем последовательность прыжков скобочной последовательностью, вправо - открывающася скобка, влево - закрывающая, тогда кролик не падает, если скобочная последовательность может быть дополнена до правильной. Пусть сделано $N$ прыжков, тогда допустимые последовательности это префиксы правильных скобочных последовательностей длин от $N$ до $2N$, то есть общее количество допустимых последовательностей есть:

$$ \sum\limits_{k = N}^{2N} k \cdot C_k $$

, где $C_k$ - количество правильных скобочных последовательностей длины $k$, то есть числа Каталана. Но это не совсем верный ответ, тут много последовательностей подсчитано несколько раз, и я пока не знаю, как это правильно учесть. В общем задача выглядит очень интересной и сложной, но возможно я просто усложняю что-то совсем очевидное

[Munin]

kolya17 в сообщении #1173164 писал(а):

1. (детская) Едут две машины, скорость одной в два раза больше другой.
Расстояние между ними не меняется.
Может ли такое быть ?

Математически корректный ответ: да, при скорости 0.
Практически, это не называется "едут".

kolya17 в сообщении #1173164 писал(а):

3. Дана усечёная пирамида с основанием треугольник.
Могут ли её грани быть попарно перпендикулярно друг другу ?
(на самом деле задача задаётся немного в шулерском варианте, т.е. делается упор на усечённость пирамиды, чтоб решаемый не сразу догадался откинуть лишнее условие)

Ответы разные, в зависимости от того, идёт ли речь только о боковых гранях, или обо всех гранях многогранника, включая основания.

Кстати, существует усечённая пирамида с основанием четырёхугольник, все соседние грани которой перпендикулярны, включая и основания. Интересно, найдёте ли. (И здесь опять вопрос, считать ли это корректными условиями.)

kolya17 в сообщении #1173164 писал(а):

5. Дан луч разбитый на отрезки по 1 см.
Случайным образом на луч сажается кролик (ровно на точку пересечения отрезков)
За один ход кролик прыгает влево или вправо на соседнюю точку с вероятностью (выбора направления) 1/2
Какова вероятность (при бесконечном числе прыжков) что кролик свалится с луча (достигнет его начала) ?

Формулировка опять очень небрежная. Что за "точка пересечения отрезков"? (Если отрезкам разрешено пересекаться, то не очень-то однозначно указано, как разбит луч.) Не сказано, что будет с кроликом по достижении начала луча. "Случайным образом" на луч - тоже та ещё формулировка (а каково распределение вероятностей?).

[gris]

5. Распределение, конечно, неравномерное. И, скажем, матожидание числа прыжков до падения будет зависеть от этого распределения. И может быть бесконечным. Но в задаче об этом не спрашивается. При любом распределении заяц попадает в конкретную конечную точку. Существует ненулевая вероятность события, что кролик из этой точки просто проскачет необходимое число шагов в нужном направлении. Школьники должны чувствовать, что при сколь угодно маленькой фиксированной вероятности события, при достаточно большом повторении эксперимента вероятность его осуществления можно сделать сколь угодно близкой к единице.
Ну а дальше уже нужно понятие предела. Ибо интуитивные игры с бесконечностью могут плохо кончиться.
1. Детский ответ, наверное, будет движением по концентрическим окружностям сообветствующих радиусов при одинаковой "угловой" скорости. А вот описать все подобные движения уже задача посложнее. Но в этом и задача простых задач: стимулировать самостоятельные попытки обобщений, шевелений условий и т.п.
3. Для только боковых граней достаточно внимательно посмотреть на кубик. Кстати, вот ответ на вопрос могут ли основания усечённой (в расширенном понимания, когда основания могут быть не параллельны) пирамиды быть перпендикулярными почему-то обычно категоричное нет.

[INGELRII]

1. Две концентрические окружности, радиус внешней в два раза больше внутренней, машины движутся так, что находятся на одном и том же радиусе, скорость произвольная.

[kolya17]

чорт )))
конечно приятно внимание к теме, но мне бы хотелось примеров задач ))

2Munin
понимаю что формулировки не строги, но это, как уточнил ещё раз gris - для школьников, т.е. по сути на "эврику", на воображение.

[user14284]

Детская. Самый лучший математик среди шахматистов и самый лучший шахматист среди математиков это один и тот же человек или могут быть разные?

Несмотря на тривиальность, задачка заставляля задуматься всех знакомых, которым я её задавал.

Еще одна детская. Есть 10 разных замков и 10 ключей от них, ключи перепутаны. Какое минимальное количество попыток нужно, чтобы гарантированно найти все пары.

Несмотря на тривиальность, мало кто из моих знакомых давал правильный ответ с первой попытки.

[wrest]

kolya17 в сообщении #1173164 писал(а):

1. (детская) Едут две машины, скорость одной в два раза больше другой.
Расстояние между ними не меняется.
Может ли такое быть ?

Имхо в условие надо добавить "едут по прямым", иначе помимо нулевой скорости, возможен по крайней еще один положительный ответ - "да, едут по концентрическим окружностям отношение между радиусами которых равно двум". Или именно на него и рассчитана "детская" задачка?

"Классическая" задачка -- $\dfrac{10^2+11^2+12^2+13^2+14^2}{365}=?$

[mihiv]

zcorvid в сообщении #1173229 писал(а):

$$ P_0 = 1, P_1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot P_2 $$ $$ P_k = \frac{1}{2} \cdot P_{k - 1} + \frac{1}{2} \cdot P_{k + 1} $$

Эта система имеет решение: $P_k=1$ для всех $k$. Наверное, его можно и как-то просто обосновать.

[gris]

Munin в сообщении #1173237 писал(а):

Кстати, существует усечённая пирамида с основанием четырёхугольник, все соседние грани которой перпендикулярны, включая и основания. Интересно, найдёте ли. (И здесь опять вопрос, считать ли это корректными условиями.)

Я сразу спросил себя: перпендикулярны чему? А зная, что Вы любитель многомерных пространств, построил в нём ответ с обобщением вообще на все многогранники
А зная, что Вы любитель предельных случаев, предложу куб.
А на большее не хватает воображения

[Munin]

(Оффтоп)

Чёрт, вот так живёшь-живёшь, никого не трогаешь, а потом внезапно оказывается, что о тебе так много знают!.. :-)

Да, я подразумевал куб или прямоугольный параллелепипед, но вот многомерного обобщения не строил. Расскажите!

[gris]

Munin, ну как бы обратимся к струнам. Построим произвольный многогранник в доступном трёхмерном пространстве. Раскомпактифицируем пару дополнительных измерений и натянем на них плоскость. Я полагаю, что при выборе взаимно ортогональных измерений, все грани нашего многогранника будут перпендикулярны нашей плоскости. (Я предположил, что вы намеренно пропустили в условии слова "взаимно" и т.п. То есть все грани перпендикулярны, а уж чему — друг другу ли, соседним ли граням, своим нормалям — можно выбирать. Я выбрал, что они все перпендикулярны чему-то одному. Ну не нулевому же вектору.)

[Александрович]

user14284 в сообщении #1173254 писал(а):

Есть 10 разных замков и 10 ключей от них, ключи перепутаны. Какое минимальное количество попыток нужно, чтобы гарантированно найти все пары.

45.