|
Возникла следующая проблема:
Теорема о вложенных шарах гласит, что в полном метрическое пространстве любая последовательность вложенных друг в друга замкнутых шаров, радиусы которых стремятся к нулю, имеет непустое пересечение. Точнее, это одна точка.
Задача в следующем: привести пример полного метрического простанства и последовательности вложенных друг в друга замкнутых шаров в нем, имеющей пустое пересечение.
Доказательство теоремы основано на построении фундаментальной последовательности центров шаров(радиусы стремятся к нулю). Так как пространство полное, то она сходится к некоторой точке этого пространства, которая и входит в пересечение всех шаров.
Получается, что в примере последовательность центров не должна быть фундаментальной, а значит и не может быть стационарной.
Есть пример, где это условие для вложенных замкнутых шаров выполняется, но при этом пересечение непусто, а именно:
произвольное множество, где расстояние между разными элементами равно 1, а между одинаковыми - 0.
Помогите найти нужный пример.
|
10.01.2008, 19:34 
