Вывод в ИВ

[integrallebega]

Затрудняюсь в построении вывода (через аксиомы ИВ и m.p.) , прошу подсказать\показать с чего и как начать
Не понимаю, какую аксиому использовать сначала. 2?
Вывод : $A \supset B \vdash A \wedge C \supset B \wedge C$



1) $A \supset B$ посылка
2) ....
n) $A \wedge C \supset B \wedge C$

[knizhnik]

integrallebega в сообщении #1172760 писал(а):

(через аксиомы Клини и m.p.)
Не понимаю, какую аксиому использовать сначала.
( "(A⊃B)⊃((A⊃(B⊃C))⊃(A⊃C))" )?

Я смотрю, у Клини это вообще не аксиома, а теорема. Она доказывается табличным способом. Приведите список аксиом, которыми вы пользуетесь.

[integrallebega]

knizhnik в сообщении #1172763 писал(а):

integrallebega в сообщении #1172760 писал(а):

(через аксиомы Клини и m.p.)
Не понимаю, какую аксиому использовать сначала.
( "(A⊃B)⊃((A⊃(B⊃C))⊃(A⊃C))" )?

Я смотрю, у Клини это вообще не аксиома, а теорема. Она доказывается табличным способом. Приведите список аксиом, которыми вы пользуетесь.

Извините, опечатался. Аксиомы ИВ (система Клини). Сами аксиомы добавил.

[arseniiv]

Попробуйте ещё в обратную сторону. К каким парам формул можно применять MP, чтобы получить $\ldots\to B\wedge C$? Через несколько шагов с конца может стать яснее, какие делать от начала.

[gefest_md]

integrallebega в сообщении #1172760 писал(а):

Затрудняюсь в построении вывода (через аксиомы ИВ и m.p.) , прошу подсказать\показать с чего и как начать

Можете построить вывод $A\supset B,\,A\wedge C\vdash B\wedge C$? Знаете как доказывается теорема дедукции? Совет arseniiv в силе, но будет проще.

[arseniiv]

+1. Тоже дедукцию бы посоветовал, т. к. вывод строится механически, но это как будто бы из заданий перед тем как её проходят.

[integrallebega]

arseniiv в сообщении #1172807 писал(а):

+1. Тоже дедукцию бы посоветовал, т. к. вывод строится механически, но это как будто бы из заданий перед тем как её проходят.

gefest_md в сообщении #1172806 писал(а):

integrallebega в сообщении #1172760 писал(а):

Затрудняюсь в построении вывода (через аксиомы ИВ и m.p.) , прошу подсказать\показать с чего и как начать

Можете построить вывод $A\supset B,\,A\wedge C\vdash B\wedge C$? Знаете как доказывается теорема дедукции? Совет arseniiv в силе, но будет проще.

Как доказывается знаю, но не понимаю, как её здесь применить.

[arseniiv]

Шаг 1:
Наличие вывода

integrallebega в сообщении #1172760 писал(а):

$A \supset B \vdash A \wedge C \supset B \wedge C$

эквивалентно наличию вывода

gefest_md в сообщении #1172806 писал(а):

$A\supset B,\,A\wedge C\vdash B\wedge C$

Теперь покажем, если ещё не показаны, выводимости $X\wedge Y\vdash X$, $X\wedge Y\vdash Y$ и $X,Y\vdash X\wedge Y$ и ещё вспомним теорему, что если $\Gamma\vdash A$ и $\Delta,A\vdash B$, то $\Gamma,\Delta\vdash B$. Теперь пользуемся всем этим, получаем результирующую выводимость и конструируем вывод, который её показывает, по деталям доказательства этих двух метатеорем и выводов производных правил.

-- Вт ноя 29, 2016 21:38:06 --

Кажется, никаких требований не потерял.

[gefest_md]

integrallebega в сообщении #1172825 писал(а):

Как доказывается знаю, но не понимаю, как её здесь применить.

Тогда что скажете про первый вопрос?

[integrallebega]

arseniiv в сообщении #1172830 писал(а):

Шаг 1:
Наличие вывода

integrallebega в сообщении #1172760 писал(а):

$A \supset B \vdash A \wedge C \supset B \wedge C$

эквивалентно наличию вывода

gefest_md в сообщении #1172806 писал(а):

$A\supset B,\,A\wedge C\vdash B\wedge C$

Теперь покажем, если ещё не показаны, выводимости $X\wedge Y\vdash X$, $X\wedge Y\vdash Y$ и $X,Y\vdash X\wedge Y$ и ещё вспомним теорему, что если $\Gamma\vdash A$ и $\Delta,A\vdash B$, то $\Gamma,\Delta\vdash B$. Теперь пользуемся всем этим, получаем результирующую выводимость и конструируем вывод, который её показывает, по деталям доказательства этих двух метатеорем и выводов производных правил.

-- Вт ноя 29, 2016 21:38:06 --

Кажется, никаких требований не потерял.

Спасибо, попробую понять это.

gefest_md в сообщении #1172832 писал(а):

integrallebega в сообщении #1172825 писал(а):

Как доказывается знаю, но не понимаю, как её здесь применить.

Тогда что скажете про первый вопрос?

Выглядит очень очевидно, я понимаю, что это так. Но как доказать с помощью аксиом ИВ не понимаю, хоть и прочитал уже довольно много литературы на эту тему.

[gefest_md]

integrallebega в сообщении #1172837 писал(а):

как доказать с помощью аксиом ИВ не понимаю

1. $A\supset B$ - первое допущение.
2. $A\wedge C$ - второе допущение.
3. $A\wedge C\supset A$ - аксиома 4).
4. $A\wedge C\supset C$ - аксиома 5).
5. $A$ - MP, 2., 3.
6. $B$ - MP, 5., 1.
7. $C$ - MP, 2., 4.
8. $B\supset(C\supset B\wedge C)$ - аксиома 3).
9. $C\supset B\wedge C$ - MP, 6., 8.
10. $B\wedge C$ - MP, 7., 9.

Спереди к каждой формуле этого вывода пишите "$A\wedge C\supset$", добавляя, если надо, скобки. Перед каждой формулой полученного списка вставляйте дополнительные формулы, чтобы получить искомый вывод (только из первого допущения); понадобятся уже аксиомы 1), 2).

[integrallebega]

gefest_md в сообщении #1172846 писал(а):

integrallebega в сообщении #1172837 писал(а):

как доказать с помощью аксиом ИВ не понимаю

1. $A\supset B$ - первое допущение.
2. $A\wedge C$ - второе допущение.
3. $A\wedge C\supset A$ - аксиома 4).
4. $A\wedge C\supset C$ - аксиома 5).
5. $A$ - MP, 2., 3.
6. $B$ - MP, 5., 1.
7. $C$ - MP, 2., 4.
8. $B\supset(C\supset B\wedge C)$ - аксиома 3).
9. $C\supset B\wedge C$ - MP, 6., 8.
10. $B\wedge C$ - MP, 7., 9.

Спереди к каждой формуле этого вывода пишите "$A\wedge C\supset$", добавляя, если надо, скобки. Перед каждой формулой полученного списка вставляйте дополнительные формулы, чтобы получить искомый вывод (только из первого допущения); понадобятся уже аксиомы 1), 2).

Спасибо большое, сейчас попробую.

[knizhnik]

gefest_md в сообщении #1172846 писал(а):

2. $A\wedge C$ - второе допущение.

На чем основано второе допущение? У нас его нет.

[integrallebega]

knizhnik в сообщении #1173055 писал(а):

gefest_md в сообщении #1172846 писал(а):

2. $A\wedge C$ - второе допущение.

На чем основано второе допущение? У нас его нет.

Теорема о дедукции.

[gefest_md]

knizhnik в сообщении #1173055 писал(а):

На чем основано второе допущение?

gefest_md в сообщении #1172806 писал(а):

Можете построить вывод $A\supset B,\,A\wedge C\vdash B\wedge C$?

-- Ср ноя 30, 2016 16:13:53 --

integrallebega, построенный вывод можно не понимать. Важно знать определение формальной выводимости из допущений и убедиться, что этот вывод соответствует ему.