Аналитическая функция и непрерывность

[mvb13]

Помогите пожалуйста найти ответ на такой вопрос:
Следует ли из того что функция $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$является аналитической во всех точках области $G$ ее непрерывность?

У меня получается следующее:
(1) $\frac{\partial u}{\partial x}$ , $\frac{\partial u}{\partial y}$ , $\frac{\partial v}{\partial x}$ , $\frac{\partial v}{\partial y}$ непрерывны (в силу аналитичности $f(z)$) $->$
(2) $u,v$ дифференцируемы во всех точках области $->$
(3) $u,v$ непрерывны во всех точках области $->$
(4) $f(z)$ непрерывна во всех точках области

[Brukvalub]

Это верно.

[Echo-Off]

Если, конечно, под аналитической функцией понимается голоморфная, а не многозначная

[AD]

Обычно аналитической функцией называют функцию, разлагающуюся в ряд, и тогда задача следует из равномерной сходимости степенного ряда в кружочке, который чуть-чуть поменьше, чем круг сходимости.

[mvb13]

Мой вопрос связан с теоремой Коши (я использую книгу ТФКП А.Г. Свешников, А.Н. Тихонов), которая звучит так:

Цитата:

Если $f(z)$ является аналитической функцией в односвязной области $G$ ,ограниченной кусочно-гладким контуром $C$ и непрерывна в замкнутой области $\bar{G}$ ,то интеграл от $f(z)$ по границе $C$ области $G$ равен 0

Если из аналитичности функции в области $G$ следует ее непрерывность, то почему в условии требуется непрерывность в $\bar{G}$ , а не непрерывность в точках принадлежащих контуру $C$?

Цитата:

Если, конечно, под аналитической функцией понимается голоморфная, а не многозначная

$f(z)$ является однозначной

[Someone]

mvb13 писал(а):

Если из аналитичности функции в области $G$ следует ее непрерывность, то почему в условии требуется непрерывность в $\bar{G}$ , а не непрерывность в точках принадлежащих контуру $C$?

Потому что из непрерывности отдельно на $C$ и $G$ не следует непрерывность на их объединении $\bar G=G\cup C$.

[mvb13]

Цитата:

Потому что из непрерывности отдельно на $C$ и $G$ не следует непрерывность на их объединении $\bar G=G\cup C$.

Объясните пожалуйста это подробнее ,ведь в определении сказано, что

Цитата:

Если $f(z)$ заданная на множестве $E$непрерывна во всех точках этого множества, то она непрерывна на множестве

$f(z)$ непрерывна во всех точках $G$ , непрерывна во всех точках $C$. Почему же тогда она не является непрерывной на $E=\bar G$?

[Brukvalub]

Рассмотрите такую функцию:

\[ f(z) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {0\;;\;z \in G} \\ {1\;;\;z \in C} \\ \end{array}} \right. \]

Эта функция непрерывна внутри области и непрерывна на границе. Тем не менее, если подойти к границе изнутри области, то предел функции не будет равен её значению в предельной точке, то есть нарушится условие непрерывности.

[Профессор Снэйп]

Мне показалось, что у участников дискуссии возникло недоразумение, связанное с тем, что они по разному понимают непрерывность на $C$. Если под ней подразумевается непрерывность "внутри" $C$, то есть утверждение

\[ (\forall c \in C)(\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall d \in C)(|d-c| < \delta \rightarrow |f(d) - f(c)| < \varepsilon), \]

то тогда Brukvalub и Someone правы и пример Brukvalub иллюстрирует всё, что надо. Если же под непрерывностью на $C$ понимать непрерывность "внешнюю", то есть утверждение

\[ (\forall c \in C)(\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall d \in \bar{G})(|d-c| < \delta \rightarrow |f(d) - f(c)| < \varepsilon), \]

то тогда прав mvb13 и его недоумение более чем понятно. Между тем из исходной формулировки вопроса не ясно, какого рода непрерывность имелась в виду.

[Someone]

Да, Профессор Снэйп, Вы правы.
mvb13, а что Вы хотите выгадать, заменяя непрерывность на $\bar G$ непрерывностью на $C$ (и оговорив, естественно, в каком из двух смыслов понимается эта непрерывность)?

[Brukvalub]

Профессор Снэйп писал(а):

Если же под непрерывностью на $C$ понимать непрерывность "внешнюю", то есть утверждение

\[ (\forall c \in C)(\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall d \in \bar{G})(|d-c| < \delta \rightarrow |f(d) - f(c)| < \varepsilon), \]

Такая непрерывность в совокупности с непрерывностью внутри области чаще всего называется "непрерывностью вплоть до границы".

[mvb13]

Я использую определение:

Цитата:

$f(z)$ непрерывна в $z_0$ если $\forall \varepsilon>0 \exists \delta : \forall z \in E , |z-z_0|<\delta $ имеет место неравенство $|f(z)-f(z_0)|<\varepsilon$

$z_0 \in C $ , но в $\delta$ окрестности $z_0$ находятся точки принадлежащие как контуру $C$ ,так и области $G$

Поэтому получается ,что под непрерывностью в точках принадлежащих контуру $C$ понимается:

Цитата:

$(\forall c \in C)(\forall \varepsilon>0)(\exists \delta>0)(\forall d\in \bar G)(|d-c|<\delta \rightarrow |f(d)-f(c)|<\varepsilon)$

Цитата:

что Вы хотите выгадать, заменяя непрерывность на $\bar G$ непрерывностью на $C$

Мне непонятно зачем в теореме Коши требовать непрерывность на множестве $\bar G$, в котором содержится $G$ ,если непрерывность на $G$следует из аналитичности функции. Ведь при формулировки теорем кол-во условий стараются минимизировать , а в данном случае получается дублирование условия непрерывности функции на $G$.

[Brukvalub]

mvb13 писал(а):

Мне непонятно зачем в теореме Коши требовать непрерывность на множестве $\bar G$, в котором содержится $G$ ,если непрерывность на $G$следует из аналитичности функции

Если дополнительно к требованию аналитичности на $G$ потребовать непрерывность на С, то подойдет предложенный мной выше пример, а это плохо. Дело в том, что непрерывность на С стандартно понимается именно так, как писал Профессор Снэйп :

Профессор Снэйп писал(а):

\[ (\forall c \in C)(\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall d \in C)(|d-c| < \delta \rightarrow |f(d) - f(c)| < \varepsilon), \]

Нужно же получить вот такую непрерывность:

Профессор Снэйп писал(а):

\[ (\forall c \in C)(\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall d \in \bar{G})(|d-c| < \delta \rightarrow |f(d) - f(c)| < \varepsilon), \]

Чтобы добиться этого, сказав как можно меньше слов (длинные определения считаются моветоном), накладывают требование непрерывности в $\bar G$, которое не привносит в требования теоремы ничего нового, кроме нужного свойства непрерывности вплоть до границы.

[mvb13]

Большое спасибо, с этим разобрался.

Помогите мне пожалуйста еще с одной задачей:
Доказать что функция $f(z)=e^{-1/z}$ непрерывна в полукруге $0<|z|\leqslant 1,|argz|\leqslant \pi/2$
С чего нужно начинать?

[Brukvalub]

mvb13 писал(а):

С чего нужно начинать?

Либо проверить "руками" определение непрерывности, либо сослаться на т. о непрерывности композиции непрерывных функций.