Фейнмановские лекции по физике. Лекция 39. § 4.

[Uchitel'_istorii]

http://www.politazbuka.info/biblioteka/ ... iyami.html , стр.18

Цитата:

Между прочим, если мы будем сравнивать первоначальное направление и направление, образующее с ним какой-то угол \theta, то интересно, что элементарная площадь на сфере единичного радиуса равна произведению 2\pi на \sin{\theta}d\theta, или, что то же самое, на дифференциал \cos{\theta}. Это означает, что косинус угла \theta между двумя направлениями с равной вероятностью принимает лю- бое значение между --1 и +1.

Вообще непонятно, при чем тут дифференциал \cos{\theta}. Чтобы доказать, что угол может принимать любое значение от 0 до \pi с равной вероятностью, нужно показать, что с каждым направлением как-то связана некоторая площадь, и что эти площади равны. Имеем формулу
A(\theta)=2\pi R^2(1-\cos{\theta}) ; R=1
\therefore \theta(A)=\arccos{(1-\tfrac{A}{2\pi})}
d \theta=d\arccos {(1-{\tfrac {A}{2\pi }})}={\tfrac {dA}{2\pi {\sqrt {1-{(1-{\tfrac {A}{2\pi }})}^{2}}}}}
Т.е. даже если брать dA одинаковыми , d \theta не будут одинаковыми. Т.е. равным площадям соответствуют интервалы углов разного размера, следовательно вероятность внутри этих интервалов будет разная.

[DimaM]

Uchitel'_istorii в сообщении #1172721 писал(а):

равным площадям соответствуют интервалы углов разного размера, следовательно вероятность внутри этих интервалов будет разная

Равные площади соответствуют равным интервалам телесного угла вообще-то. А то, что площадь колечка шириной, скажем, $1^\circ$ широты у экватора гораздо больше, чем у полюса, любой может убедиться самостоятельно, разглядывая глобус.

[Uchitel'_istorii]

Так Фейнман же рассматривает плоский угол. Далее он использует этот абзац, чтобы показать, что среднее значение косинуса — ноль. Т.е. изначально было какое-то направление разлета пары частиц, напр. вертикальное. Направление следующей пары по долготе не учитывается.

Вы можете показать, как из констатации, что элементарная площадь пропорциональна дифференциалу косинуса, выплывает, что косинус может принимать любые значения с равной вероятностью?

[DimaM]

Uchitel'_istorii в сообщении #1172728 писал(а):

Так Фейнман же рассматривает плоский угол.

Разумеется, нет.

Uchitel'_istorii в сообщении #1172728 писал(а):

Вы можете показать, как из констатации, что элементарная площадь пропорциональна дифференциалу косинуса, выплывает, что косинус может принимать любые значения с равной вероятностью?

Примерно так: пусть есть некоторая величина $x$ и плотность вероятности ее распределения $w(x)$. Тогда вероятность получить значение от $x$ до $x+dx$ (та самая "элементарная площадь") равна $dW=w(x)dx$.
В вашем случае $x=\cos\theta$, а $dW=d\cos\theta$ (правильнее $dW=\dfrac{d\cos\theta}{2}$, чтоб нормировка сохранялась) - отсюда сразу видно, что плотность вероятности $w(\cos\theta)=1$ (или $1/2$, учитывая оговорку выше). То есть все значения косинуса равновероятны.

[Uchitel'_istorii]

DimaM в сообщении #1172733 писал(а):

Uchitel'_istorii в сообщении #1172728 писал(а):

Так Фейнман же рассматривает плоский угол.

Разумеется, нет.

По этому рисунку тяжело понять, что имеется в виду не плоский угол.

[DimaM]

Uchitel'_istorii в сообщении #1172737 писал(а):

По этому
рисунку тяжело понять, что имеется в виду не плоский угол.

На рисунке отчетливо видно полоску на сфере, соответствующую интервалу полярного угла.

[Uchitel'_istorii]

Ничего не понимаю. При чем тут полярный угол? Почему в тексте не упоминается полярный угол? Чему равна координата $\phi$?

UP. В тексте 32 лекции не сказано, что угол $\theta$ — полярный. И не упоминается, что используется сферическая система координат. Заключать это для доказательства не нужно. Фейнман берет какую-то плоскость, в которой лежит радиус и вертикальная ось. Этого достаточно для доказательства, чему равна площадь полоски. И интегрировать можно, используя как пределы интегрирования значения плоского угла. Дальше Фейнман пишет, что угол меняется от 0 до 180 град. Т.е. это плоский угол.

[DimaM]

Uchitel'_istorii в сообщении #1172744 писал(а):

При чем тут полярный угол? Почему в тексте не упоминается полярный угол?

Упоминаемая в тексте $\theta$ - это и есть полярный угол.

Uchitel'_istorii в сообщении #1172744 писал(а):

Чему равна координата $\phi$?

Попробуйте еще раз глянуть на картинку из вашей ссылки.

[Munin]

Uchitel'_istorii в сообщении #1172721 писал(а):

Чтобы доказать, что угол может принимать любое значение от 0 до \pi с равной вероятностью

Ну, во-первых, доказывается не это, и это попросту неверно.

Угол распределён по сфере с равной вероятностью. И это приводит к тому, что он сам распределён (по окружности, по своим всевозможным значениям) не с равной вероятностью: углы около прямого вероятнее, чем около нулевого или развёрнутого.

Uchitel'_istorii в сообщении #1172744 писал(а):

Дальше Фейнман пишет, что угол меняется от 0 до 180 град. Т.е. это плоский угол.

Угол-то "плоский", но он откладывается между двумя точками на сфере, а не между двумя точками на окружности. Встав на точку зрения одной из точек, получаем другое распределение.

(Кстати, в $n$-мерном пространстве оно будет опять другое, для каждого различного $n.$)

-- 29.11.2016 16:28:14 --

Представьте себе, что на Земном шаре выросли случайно два гриба. Какой между ними угол? Встанем на точку зрения одного гриба, и объявим себя Северным полюсом. Тогда все положения второго гриба равновероятны. Но из них получается, что на полоску от экватора до параллели $1^\circ$ северной широты приходится довольно большая площадь глобуса; а на кружок от $89^\circ$ северной широты вокруг Северного полюса - площадь намного меньшая. Хотя и то и другое соответствует диапазону в $1^\circ$ по широте. Поэтому всевозможные углы не равновероятны: углы около $90^\circ$ (считая от Северного полюса, около экватора) вероятнее, чем углы около $0^\circ$ (около самого Северного полюса).

[Uchitel'_istorii]

DimaM в сообщении #1172733 писал(а):

Uchitel'_istorii в сообщении #1172728 писал(а):

Вы можете показать, как из констатации, что элементарная площадь пропорциональна дифференциалу косинуса, выплывает, что косинус может принимать любые значения с равной вероятностью?

Примерно так: пусть есть некоторая величина $x$ и плотность вероятности ее распределения $w(x)$. Тогда вероятность получить значение от $x$ до $x+dx$ (та самая "элементарная площадь") равна $dW=w(x)dx$.
В вашем случае $x=\cos\theta$, а $dW=d\cos\theta$ (правильнее $dW=\dfrac{d\cos\theta}{2}$, чтоб нормировка сохранялась) - отсюда сразу видно, что плотность вероятности $w(\cos\theta)=1$ (или $1/2$, учитывая оговорку выше). То есть все значения косинуса равновероятны.

Доказательство выглядит убедительно, но я пока плохо в этом разобрался. К этому моменту я вообще забыл лекцию 6. Фейнман обычно по 10 раз повторяет или дает ссылки на предыдущие лекции.

Почему-то мне казалось, что если косинус якобы должен принимать некоторые значения с одинаковой вероятностью, то и соответствующие углы (арккосинусы этих значений) должны иметь одинаковую вероятность.

Что смущает: если откладывать на оси $x=\cos\theta$, то неявно подразумевается, что эти значения идут через равные интервалы.

Если отсечки нанесены следующим образом, то кривая $w(x)$ будет не прямоугольником.

[Munin]

Uchitel'_istorii в сообщении #1172987 писал(а):

Почему-то мне казалось, что если косинус якобы должен принимать некоторые значения с одинаковой вероятностью, то и соответствующие углы (арккосинусы этих значений) должны иметь одинаковую вероятность.

Ну что вы. Нарисуйте график арккосинуса. Если мы имеем равновероятное распределение по оси абсцисс, то по оси ординат у нас разве получится равновероятное?

[Uchitel'_istorii]

Munin , т.е. график должен выглядеть, как прямая линия, чтобы по оси ординат была одинаковая вероятность? Тогда опять всё зависит от того, как спроектированные с оси абсцисс на ось ординат точки расположены между собой (если равномерно, то вероятности одинаковые ). Этот момент никак не могу понять.

[Munin]

Если по оси абсцисс равномерная - то да.

-- 30.11.2016 14:11:38 --

Ещё вариант: состоять из прямолинейных отрезков с одинаковым наклоном, как-то "переставляющих" куски оси между собой, и возможно "разворачивающих".

[Uchitel'_istorii]

Если косинус принимает только 3 значения напр $1$; $0,7$ и $0$ с одинаковой вероятностью $1/3$, то соответствующие углы $0^\circ$; $45^\circ$; $90^\circ$ будут также иметь вероятность $1/3$?

В теории вероятности я неуверенно себя чувствую. Подскажите, мне нужно остановиться и лучше разобраться или Фейнман будет дальше разжевывать? Задачи пока не решал, хочу прочесть первые 4 тома, т.к. задачи идут сразу к 4 томам.

[Munin]

Uchitel'_istorii в сообщении #1173215 писал(а):

Если косинус принимает только 3 значения напр $1$; $0,7$ и $0$ с одинаковой вероятностью $1/3$, то соответствующие углы $0^\circ$; $45^\circ$; $90^\circ$ будут также иметь вероятность $1/3$?

Да, хорошее объяснение. Заметьте, что числа $1,$ $0,7$ и $0$ расположены на числовой оси неравномерно, так что плотность вероятности получается "плотнее" со стороны единицы, чем со стороны нуля.

Uchitel'_istorii в сообщении #1173215 писал(а):

В теории вероятности я неуверенно себя чувствую.

Теория вероятностей. Ну, по сути, это просто теория о том, как пересчитывать друг в друга разные функции, и как вычислять от них две величины: среднее и среднеквадратическое отклонение. Требует понимания на уровне арифметики, и техники на уровне матанализа.

Uchitel'_istorii в сообщении #1173215 писал(а):

Подскажите, мне нужно остановиться и лучше разобраться или Фейнман будет дальше разжевывать?

Скажем так, это всё не центральный момент повествования Фейнмана. Можно и "отложить на будущее", если вы не стремитесь сейчас решать задачи. Но надо понимать, что когда вы приступите к задачам, вам придётся и здесь разобраться, и вообще весь текст Фейнмана перечитать внимательнее, копаясь в каждой формуле.