Доброго времени суток. Имеется следующая задача:
Определим винеровский процесс как марковский процесс с вероятностью перехода:
![$p_2 (x, t + dt| z , t) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi dt}} \exp\left({-\frac{(x - z)^2}{2 dt}}\right)$ $p_2 (x, t + dt| z , t) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi dt}} \exp\left({-\frac{(x - z)^2}{2 dt}}\right)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/0/4/f04beb69eca9bf6b063f990baefcdbd082.png)
Требуется показать, что траектории винеровского процесса, определённого таким образом, являются непрерывными. Далее сказано, что для этого нужно показать, что
![$ \frac{1}{d t}\int_{|x - z| > \varepsilon} d x \, p_2 (x, t + dt| z , t) \xrightarrow{d t \to 0 } 0$ $ \frac{1}{d t}\int_{|x - z| > \varepsilon} d x \, p_2 (x, t + dt| z , t) \xrightarrow{d t \to 0 } 0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/7/6/a765e5caa6bca5bb8c704e6707c4ec2582.png)
для всякого
![$\varepsilon > 0$ $\varepsilon > 0$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/0/f/f0f5983b609e1ccfdd0e1c27ac4b2e2882.png)
.
Мне не очень понятна, если честно, такая формулировка непрерывности траектории. К чему здесь
![$\frac{1}{d t}$ $\frac{1}{d t}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/1/8/21838539c1c90dd70e6b56b50802f85482.png)
? Мне представлялось, что должно быть что-то в духе того, что при
![$d t \to 0$ $d t \to 0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/3/8/138ea03b778f1f23c366acbc000ab8ea82.png)
вероятность перехода должна стремится к
![$\delta$ $\delta$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/8/f/38f1e2a089e53d5c990a82f28494895382.png)
-функционной. Как вообще можно по-человечески (ну, то есть в контексте физики) определить непрерывность траекторий случайных процессов? Я пытался найти ответ в книгах C.W. Gardiner: "Handbook of Stochastic Mechanics", H. Risken: "Fokker-Planck equation", В.Е. Гмурмана: "Теория вероятностей и математическая статистика", Б.В. Гнеденко: "Курс теории вероятностей" и др. У Gardiner встречается непрерывность именно в такой форме, но вводится оно примерно так: "... it can be shown that...", после чего идёт ссылка на книгу I.F. Gikhman, A.V. Skorohod: "The Theory of Stochastic Processes", которую мне в открытом доступе найти не удалось.
К слову, вот для определённого так винеровского процесса можно ли доказать непрерывность в таком виде, пользуясь тем, что в пределе
![$d t \to 0$ $d t \to 0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/3/8/138ea03b778f1f23c366acbc000ab8ea82.png)
вероятность перехода стремится к
![$\delta (x - z)$ $\delta (x - z)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/b/7/fb7173b903e40f9a5bb9ad9333dfc50e82.png)
? Или надо как-то аккуратнее действовать: например, разложить
![$p_2 (x, t + dt| z , t)$ $p_2 (x, t + dt| z , t)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/8/7/4873265a2bebe107fcbf040e3e2d8a4a82.png)
по
![$dt$ $dt$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/a/8/5a8af6f173febd968ef4c52695efcf8582.png)
(хотя это ведь то же самое даст, по сути?).
Заранее спасибо за помощь.
P.S. Извиняюсь, если где-то неточно выражаюсь. Знаю, что винеровский процесс в математике обычно не так вводится вроде, что перед "траектории являются непрерывными" тут нужно какие-то магические слова добавлять в духе "почти наверняка" или "почти все", да и то, что гауссово распределение в пределе
![$\delta$ $\delta$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/8/f/38f1e2a089e53d5c990a82f28494895382.png)
-функция, не совсем корректно. Но это из физики задача, так что вот так.
![:oops: :oops:](./images/smilies/icon_redface.gif)