Построение действительных чисел и аксиома выбора

[maximav]

Проясните пожалуйста. Если мы имеем вещественный континуум со стандартной арифметикой <, >, +, -, то где начинает работать аксиома выбора? В дальнейшем, когда строится матанализ? Например, можно ли сказать, что в таких стартовых посылках, аксиома еще не нужна и затребуется, только когда начнутся слова про пределы или, например, базисы линейных пространств и функ.анализ вообще.

С другой стороны, если мы еще только создаем числа в нашем привычном понимании выше, то плясать придется от континуума, а для введения отношения порядка на нем уже, понятное дело, без AC не обойтись. Тогда получается, что по большому счету матанализ даже в своем зародыше должен вовлекать аксиому.

Но фигурирует ли аксиома явно/неявно (и где), когда мы строим R-числа по Вейерштрассу или Дедекинду. То есть в начале, где мы сказали "вещ континуум с арифметикой <, +, ..."

Если мы работаем только со счетными множествами AC нужна, если я буду использовать знаки упорядочения?

Попутный вопрос (я не вникал в доказательство и детали AC). То упорядочение, которое вводится по Цермело на континууме, он связано с (каким-то) отношением включения (каких-то) множеств или нет? Ну, грубо говоря, имеется ли какой несчетный аналог включений типа $\{\varnothing,\{\varnothing, \cdots\}\}$. Или отношение абстрактное и никак косвенно не ассоциированное с операцией $\cup$. На первый взгляд, на голой ZFC-аксиоматике ничего нет, кроме $\in$, $\cup$ и потому, все, что мы можем нагородить должно как-то эксплуатировать конструкции типа $A\subset B\subset \cdots$, ну а потом к приведет к привычным числовым записям типа $a<b<\cdots$.

[arseniiv]

maximav в сообщении #1171422 писал(а):

На первый взгляд, на голой ZFC-аксиоматике ничего нет, кроме $\in$, $\cup$

$\cup$ в данном случае ничем не лучше $\varnothing$ или взятия булеана. Кроме того, немало и других теорий множеств — это теории первого порядка с равенством в языке с одним только предикатным символом $\in$, ZFC тут не выделяется.

maximav в сообщении #1171422 писал(а):

То упорядочение, которое вводится по Цермело на континууме, он связано с (каким-то) отношением включения (каких-то) множеств или нет?

Сама-то теорема Цермело просто говорит «на любом множестве можно задать отношение, вполне упорядочивающее его» и не больше. Вот в её доказательствах через что-нибудь другое (AC там) могут быть какие-то специфические для этого доказательства детали.

[Anton_Peplov]

arseniiv в сообщении #1171457 писал(а):

Сама-то теорема Цермело просто говорит «на любом множестве можно задать отношение, вполне упорядочивающее его» и не больше.

Что в точности равносильно аксиоме выбора. Так что через не включающее АС "что-то другое" ее доказать невозможно в принципе.

[Someone]

maximav в сообщении #1171422 писал(а):

Проясните пожалуйста. Если мы имеем вещественный континуум со стандартной арифметикой <, >, +, -, то где начинает работать аксиома выбора? В дальнейшем, когда строится матанализ? Например, можно ли сказать, что в таких стартовых посылках, аксиома еще не нужна и затребуется, только когда начнутся слова про пределы или, например, базисы линейных пространств и функ.анализ вообще.

Вопросы Вы формулируете весьма сумбурно. Вероятно, сказывается принцип "чтобы правильно сформулировать вопрос, надо знать бóльшую часть ответа". Постараюсь ответить в меру понимания того, что Вы пишете.
О том, где при построении математического анализа применяется аксиома выбора, можно прочесть в следующей книге:

Ф. А. Медведев. Ранняя история аксиомы выбора. "Наука", Москва, 1982.

maximav в сообщении #1171422 писал(а):

С другой стороны, если мы еще только создаем числа в нашем привычном понимании выше, то плясать придется от континуума, а для введения отношения порядка на нем уже, понятное дело, без AC не обойтись. Тогда получается, что по большому счету матанализ даже в своем зародыше должен вовлекать аксиому.

Если Вы говорите о стандартных способах построения множества действительных чисел, то аксиома выбора там не применяется. В том числе, и отношение порядка определяется без аксиомы выбора.

maximav в сообщении #1171422 писал(а):

Если мы работаем только со счетными множествами AC нужна, если я буду использовать знаки упорядочения?

Этот вопрос я не понимаю. О каких счётных множествах и о каких отношениях порядка идёт речь? Если о действительных числах, то, как я уже говорил, отношение "$<$" определяется без аксиомы выбора.

maximav в сообщении #1171422 писал(а):

То упорядочение, которое вводится по Цермело на континууме, он связано с (каким-то) отношением включения (каких-то) множеств или нет?

Я не понимаю, о чём Вы спрашиваете.

[arseniiv]

Anton_Peplov в сообщении #1171467 писал(а):

Что в точности равносильно аксиоме выбора. Так что через не включающее АС "что-то другое" ее доказать невозможно в принципе.

Акцент был не на этом, а так, конечно же, в посылках должно быть что-то не слабее AC. Я побоялся, что без фразы в скобках может появиться ненужное обсуждение, и получил обратный эффект — +2 метапоста.

Вот, кстати, я тоже молчаливо предположил, что будет ясно, что я тоже не понял причины вопросов, т. к. сами по себе они воспринимаются тоже не очень ясно. Например, какую связь могут иметь $\subset$ для каких-то множеств и $<$ для вещественных чисел. Это из-за конструкции с порядком на ординалах и из-за того, что их класс вполне упорядочен, а $\mathbb R$ можно вполне упорядочить с AC? (Вопрос к maximav, конечно.) Если так, то ведь видно, что между таким порядком (который не обязательно единственнен даже с точностью до изоморфизма упорядоченных множеств — ординалов мощности континуума у нас не один и не два) и обычным будет как-то недостаточно общего? Просто из требований, накладываемых на упорядоченное поле? Ну оба они будут линейными порядками — и всё на этом.

[maximav]

Я понадеялся, что специалисты с полуслова догадаются, поэтому и накидал вчерне. В целом вопросы сводятся к "как мы превращаем континуум в привычные нам $\mathbb R$-числа? и крутятся вокруг аксиомы (выбора) + теорема (обупорядочивании) (Цермело 1904)

1. Начнем сначала с анализа "a la Зорич". Имеем вещественную ось $\mathbb R$ с аксиоматизируемой арифметикой сложение-вычитание и отношением порядка $>$. Здесь все объявлено по аксиомам и вопрос про AC возникает, как я догадываюсь, только в дальнейшем: построении анализа и пределах последовательностей. Припоминаю, что где-то там уже не обойтись без AC, хотя отношение порядка на нашем $\mathbb R$-континууме уже есть. То есть отношение порядка не бесконечном множестве есть, но это не значит, что AC (которая влечет возможность введения порядка) не нужно привлекать еще раз в дальнейших построениях. Это так?

С другой стороны, в этом же анализе и те же самые $\mathbb R$-числа представляются цифрами, целыми числами, дробями и последовательностями (Дедекинд-Вейерштрасс). Они есть элементы нашего (бесконечного) $\mathbb R$. Но, насколько я понимаю, не при любых операциях над бесконечными множествами необходимо привлекать AC.

2. Вот здесь и был вопрос. Останемся с этим $\mathbb R$ (определенный выше по Зоричу), но понимая, что он (не Зорич конечно ) - бесконечный - состряпан из бесконечных последовательностей. Используется ли где здесь AC? Как я догадываюсь, в частности и из вашего ответа, то ответ здесь: нет не нужна, потому, что мы, фактически, не ушли из п.1

Хорошо, AC не нужна и идем дальше, задаваясь вопросом о собственно построении нашего $\mathbb R$. То есть обдумываем "аксиомы Зорича". Целые числа, например, отождествляются с конструкциями типа $\varnothing,\{\varnothing\}, \{\varnothing,\{\varnothing\}\}\},\cdots$, т.е. через операции объединения, а их упорядочивание $<$ сводится, фактически, к операции включения $\subset$. Про это еще будет вопрос дальше. Теперь, собственно континуум строится как булеан этого бесконечного счетного множества $N$. Мы его обозначим $\mathbb R'$, но понимая, что это абстрактное несчетное множество, построенное как булеан счетного $N$. Не более! Никаких значков типа $<$ у нас здесь нет. Они есть только на предыдущем $N$ и, частично, на появившемся булеане $\mathbb R'$. Грубо говоря, те последовательности из цифр, которыми мы оперировали по Вейерштрассу-Зоричу, есть элементы этого булеана, но булеан $\mathbb R'$ пока еще голый. Полного порядка в нем нет. Вот здесь тогда и следующий вопрос.

3. Иначе, имеем 2 множества элементов одной природы - голый булеан $\mathbb R'$ или "Зорич-множество" $\mathbb R$, - но на одном линейный порядок постулирован, а на другом его нет. Коль скоро природа обоих множеств одна и таже (одно и тоже множество), то, я подозреваю, что постулирование линейного порядка у Зорича должно иметь происхождение (если желать этот постулат превращать в вывод) или даже быть эквивалентным теореме Цермело об упорядочении. То есть без AC не обойтись. Это так?

Если такая идеология корректна, то получается то, что я и спрашивал раньше. Не опирается ли, в сущности, мат.анализ уже в своем зародыше на аксиому выбора? Откуда мы берем линейный порядок на Зорич-множестве $\mathbb R$? Разбор этого места, если рассуждения выше не ошибочны, я не смог откопать у Куратовского. Поэтому и расспрашиваю здесь.

Теперь дальше, про упоминаемое выше отношение включения и собственно другие акcиомы ZF. При формальных построениях выше, когда мы строили упорядочивания и булеан из цифр, мы использовали только операции объединения $\cup$ и включения $\subset$. Это понятно, поскольку в аксиомах правила образования множеств прописаны и других не должно быть. Соответственно линейное (или не) упорядочивание $<$ на $N$ использовало только эти операции. Мой последний вопрос и был вокруг этого. Это вопрос о соотношении (в рамках ZF или ZFC) строящегося (теорема Цермело) линейного упорядочивания на $\mathbb R'$ и этих базовых аксиоматических операциях. Возможно наивного перехода от включения $\subset$ на $N$ к включению на $\mathbb R'$ нет, но в этом месте и есть неясность. Не понятно за что зацепиться. В принципе, хочется видеть четкое утверждение "да, построение $\mathbb R$ из $\mathbb R'$ как описано выше необходимо задействует AC" или противоположное или же что-то другое, что я не догоняю. Хотя было бы неплохо иметь пояснения. Скажем, есть и какая связь между частичными порядками (через $\subset$) на цепях в булеане $\mathbb R'$ и тем бОльшим порядком (линейное упорядочение с наименьшим), который построит теорема Цермело? Порядковые типы здесь нужны?

Надеюсь, внятно разжевал, что мне нужно.

Предложение модераторам: перевести эту тему в отдельный поток "Построение вещественных чисел и их арифметики"

-- 25.11.2016, 16:16 --

Кстати, ясно, что упорядочения можно вводить различными способами, но все они изоморфны. Мне вполне достаточно такого понимания вчерне по аналогии с упорядочением $n!$ конечных множеств. Остается понять один (церемеловский) способ упорядочения континуума.

[arseniiv]

maximav в сообщении #1171589 писал(а):

В целом вопросы сводятся к "как мы превращаем континуум в привычные нам $\mathbb R$-числа?

Ну, в целом никак. Мы строим сразу их. И уж после построения можем показать, что $|\mathbb R|=\mathfrak c$. Мы не берём какое-нибудь произвольное континуальное множество и наделяем структурой (как это вообще сделать?).

По поводу 1.

maximav в сообщении #1171589 писал(а):

Припоминаю, что где-то там уже не обойтись без AC, хотя отношение порядка на нашем $\mathbb R$-континууме уже есть. То есть отношение порядка не бесконечном множестве есть, но это не значит, что AC (которая влечет возможность введения порядка) не нужно привлекать еще раз в дальнейших построениях. Это так?

Ну да. Вообще непонятно, ещё раз, как может возникнуть идея связывать порядки, существующие по теореме Цермело, с $<_{\mathbb R}$ — они никогда не изоморфны.

По поводу 2.

maximav в сообщении #1171589 писал(а):

Останемся с этим $\mathbb R$ (определенный выше по Зоричу), но понимая, что он (не Зорич конечно ) - бесконечный - состряпан из бесконечных последовательностей.

Это нельзя сказать. Если у нас есть утверждение «$R$ вместе с операциями и отношениями такими-то — упорядоченное поле вещественных чисел», которое и задают нам аксиомы, то мы не можем ничего сказать о структуре элементов какого-то из подходящих $R$, т. к. эта аксиоматика никак её не вовлекает. Последовательности ли это или, может, одноэлементные множества (их же целый собственный класс, нам всегда хватит) — нельзя сказать.

maximav в сообщении #1171589 писал(а):

Используется ли где здесь AC?

Где «здесь»? В каком именно доказательстве? (Конечно, бывают ещё доказательства корректности определений, и чтобы ввести в язык константу $\mathbb R$ (и $+_{\mathbb R},\cdot_{\mathbb R},<_{\mathbb R}$ etc.), надо сначала доказать, что существует хоть одно множество вещественных чисел, и по этому поводу Someone уже ответил, что AC не пригодится).

maximav в сообщении #1171589 писал(а):

То есть обдумываем "аксиомы Зорича". Целые числа, например, отождествляются с конструкциями типа $\varnothing,\{\varnothing\}, \{\varnothing,\{\varnothing\}\}\},\cdots$

Для начала, не целые, а натуральные, и только, опять же, по соглашению. Из того, что удобно пользоваться простыми понятиями теории множеств для определения подходящей штуки, ещё не следует, что эта штука как-то тесно связана с этими понятиями. Мы можем определить $\mathbb N$ как множество элементов вида $\varnothing,\{\varnothing\},\{\{\varnothing\}\},\{\{\{\varnothing\}\}\}$, например. Это не очень удобно для определения привычных операций и отношений на нём, но после доказательства утверждений, для которых нам $\mathbb N$ и хотелось ввести, это чувствоваться перестанет, и нам станет неважно, из чего оно состоит.

maximav в сообщении #1171589 писал(а):

Мы его обозначим $\mathbb R'$, но понимая, что это абстрактное несчетное множество, построенное как булеан счетного $N$.

(Ну и назвали бы его тогда $C$, скажем.)

maximav в сообщении #1171589 писал(а):

и, частично, на появившемся булеане $\mathbb R'$

Эксплицитно пропускаю это, намёком на что бы оно ни было.

Насчёт 3.

maximav в сообщении #1171589 писал(а):

Коль скоро природа обоих множеств одна и таже (одно и тоже множество)

?? У них общего только континуальность на данный момент.

maximav в сообщении #1171589 писал(а):

то, я подозреваю, что постулирование линейного порядка у Зорича должно иметь происхождение (если желать этот постулат превращать в вывод) или даже быть эквивалентным теореме Цермело об упорядочении. То есть без AC не обойтись. Это так?

В третий раз: $<_{\mathbb R}$ не вполне упорядочивает $\mathbb R$.

maximav в сообщении #1171589 писал(а):

Откуда мы берем линейный порядок на Зорич-множестве $\mathbb R$?

Там — ниоткуда. Мы говорим «$R$ вместе с операциями и отношениями такими-то — упорядоченное поле вещественных чисел» одновременно про $R$, $+_R$, $\cdot_R$, $<_R$ etc. и всё. (И мы можем сказать это про разные кортежи элементов, и никакого одного «Зорич-множества» не существует.) Чтобы построить подходящие объекты, для которых это утверждение было верно, используется конструкция с последовательностями, сечениями, десятичными записями и т. п..

maximav в сообщении #1171589 писал(а):

При формальных построениях выше, когда мы строили упорядочивания и булеан из цифр, мы использовали только операции объединения $\cup$ и включения $\subset$.

По-моему, вы всё-таки совсем не понимаете, о чём вы. Даже чтобы найти какое-нибудь $\mathbb N$, нужна как минимум аксиома бесконечности. (А что такое булеан из цифр и зачем он нужен?) Нужна аксиома пары, нужна аксиома собственно булеана и т. д..

maximav в сообщении #1171589 писал(а):

Соответственно линейное (или не) упорядочивание $<$ на $N$ использовало только эти операции.

Соответственно, стоит всё-таки выражаться яснее. Что значит «одна операция использует только другие операции»?

maximav в сообщении #1171589 писал(а):

Не понятно за что зацепиться.

Ни за что цепляться не надо. Теорема Цермело говорит, что существует какое-то вполне упорядочивающее отношение. В её формулировку не входит ничего более. Кроме того, я опять же писал, что если $\mathbb R'$ вполне упорядочивается каким-нибудь $<'$, то оно вполне упорядочивается и неизоморфным ему $<''$, потому что $\mathfrak c+1 = \mathfrak c$, мы можем добавить к $\mathbb R'$ элемент $*$, поставить его последним по порядку и теперь прокрутить этот порядок через биекцию $\mathbb R'\cup\{*\}\to\mathbb R'$ и получить новый неизоморфный старому порядок на $\mathbb R'$. Так что нельзя говорить «the упорядочение по теореме Цермело».

maximav в сообщении #1171589 писал(а):

Хотя было бы неплохо иметь пояснения.

Ну вот как-то так. Прокомментировал что смог и посчитал нужным.

[Karan]

Тема отделена

Если мы строим $\mathbb{R}$ как бесконечные дроби, фундаментальные рациональные последовательности или сечения Дедекинда, то для определения линейного порядка аксиомы выбора не требуется. Попробуйте провести все построение сами, это не особо сложно, но муторно. Опишите, где возникают трудности, тогда Вам могут помочь.

Я не понимаю, почему Вы вообще вспоминаете про теорему Цермело. Обычный линейный порядок на $\mathbb{R}$ не полный.

[Someone]

maximav в сообщении #1171589 писал(а):

Но, насколько я понимаю, не при любых операциях над бесконечными множествами необходимо привлекать AC.

Я бы даже сказал, что операции над множествами определяются сами по себе, а аксиома выбора формулируется сама по себе.

maximav в сообщении #1171589 писал(а):

Теперь, собственно континуум строится как булеан этого бесконечного счетного множества $N$.

Это враньё. Континуум определяется как мощность множества действительных чисел. То есть, мы сначала должны построить множество действительных чисел, а потом уже определять континуум. Булеан здесь вообще ни при чём. Зато потом обнаруживается замечательное совпадение, что мощность множества подмножеств натурального ряда равна континууму.

maximav в сообщении #1171589 писал(а):

Иначе, имеем 2 множества элементов одной природы - голый булеан $\mathbb R'$ или "Зорич-множество" $\mathbb R$, - но на одном линейный порядок постулирован, а на другом его нет. Коль скоро природа обоих множеств одна и таже (одно и тоже множество)

Это чушь. При любом из стандартных способов построения множества действительных чисел.

maximav в сообщении #1171589 писал(а):

я подозреваю, что постулирование линейного порядка у Зорича должно иметь происхождение (если желать этот постулат превращать в вывод) или даже быть эквивалентным теореме Цермело об упорядочении.

Вы хоть один из способов построения $\mathbb R$ разобрали? Отношение порядка во всех случаях определяется без аксиомы выбора.

maximav в сообщении #1171589 писал(а):

операции объединения $\cup$ и включения $\subset$

Включение — не операция, а отношение.

maximav в сообщении #1171589 писал(а):

В принципе, хочется видеть четкое утверждение "да, построение $\mathbb R$ из $\mathbb R'$ как описано выше необходимо задействует AC" или противоположное или же что-то другое, что я не догоняю.

Вам уже было совершенно недвусмысленно сказано: построение множества действительных чисел со всеми нужными операциями и отношениями не требует аксиомы выбора. Сколько раз ещё нужно это повторить, чтобы до Вас дошло?

Всё-таки, возьмите какой-нибудь способ построения $\mathbb R$, начиная с $\mathbb N$. Введение отрицательных чисел, введение рациональных чисел, пополнение множества рациональных чисел. Хотя бы где-нибудь найдите какие-нибудь следы аксиомы выбора. Пока Вы обсуждаете лишь собственные фантазии, а не реальное построение.

[maximav]

arseniiv в сообщении #1171592 писал(а):

Вообще непонятно, ещё раз, как может возникнуть идея связывать порядки, существующие по теореме Цермело, с $<_{\mathbb R}$ — они никогда не изоморфны.

Это тоже самое, как если вы объявили бы, что вещественные числа не создаются на основе теории ZF или ZFC, а такая надстройка над множеством как $<_{\mathbb R}$ - это дополнительная аксиома к математике, которая не способна породить ваше $<_{\mathbb R}$. Даже на вскидку это схоже с ересью. Аксиомы ZF ничего не знают про этот значок и даже значка $\subset$ в них нет. Помимо прочего там есть только $\cup$, $=$. На их основе создается $\subset$, а потом, на основе $\varnothing,\{\varnothing\},\{\{\varnothing\}\},\{\{\{\varnothing\}\}\}\cdots$ создается значок $<$, который мы называем словами больше/меньше, упорядочивание и далее стандартную арифметику целых чисел. Так создается то, что мы называем целые числа + линейное упорядочение на них + арифметика сложения-вычитания (вполне или линейная упорядоченность - сейчас не важно). Я достаточно подробно разжевал и мои вопросы сводились к тому, что "не создается ли вещественный "наш" привычный континуум $\mathbb R$ с "нашим привычным" отношением $<$ и " нашей привычной" арифметикой +/-аналогичным способом как только что описано про целочисленную арифметику?" При этом надо вовлекать по полной программе AC (или нет?). Все значки-операции, которые имеются в этой системе я знаю. Если собираетесь отвечать по-существу, то старайтесь апеллировать к ним. Короче, берем булеан от счетного множества, смотрим на всю систему аксиом ZFC и ищем: как отсюда создать всем хорошо известный $\mathbb R$ у упорядочением и сложением-вычитанием. Нет желания разжевывать еще, мой пост более чем развернут. Его можно прочитать и не один раз, если не понятно.

[arseniiv]

maximav в сообщении #1171636 писал(а):

Помимо прочего там есть только $\cup$, $=$.

Там есть только $\in, =$, и при большом желании можно отказаться от $=$, хотя придётся аксиомы равенства подправить.

maximav в сообщении #1171636 писал(а):

Я достаточно подробно разжевал и мои вопросы сводились к тому, что "не создается ли вещественный "наш" привычный континуум $\mathbb R$ с "нашим привычным" отношением $<$ и " нашей привычной" арифметикой +/-аналогичным способом как только что описано про целочисленную арифметику?"

Нет, не создаётся (и нет, не сводились — вот этого вопроса там вообще не было видно ни под каким соусом, да и в текущем изложении приходится изрядно применять телепатию), и на этот вопрос отвечают все имеющиеся построения $\mathbb R$ — сечения, последовательности, etc., которые вы и сами упоминали. Есть ещё парочка необщеизвестных построений, но и там нет той простоты, которой получается $\mathbb Z$ из $\mathbb N$. Впрочем, между любыми двумя вещами можно найти аналогию, и вопрос только в её осмысленности и продолжаемости до каких-то точных утверждений.

maximav в сообщении #1171636 писал(а):

При этом надо вовлекать по полной программе AC (или нет?).

Ну ведь написали выше прямым текстом, что конструкции $\mathbb R$ из $\mathbb Q,\mathbb Z,\mathbb N$ аксиомы выбора не вовлекают.

maximav в сообщении #1171636 писал(а):

Все значки-операции, которые имеются в этой системе я знаю.

Нижние индексы я ставил, чтобы не путались операции на разных множествах.

maximav в сообщении #1171636 писал(а):

Короче, берем булеан от счетного множества, смотрим на всю систему аксиом ZFC и ищем: как отсюда создать всем хорошо известный $\mathbb R$ у упорядочением и сложением-вычитанием.

Ну возьмите и поищите, в самом деле.

У вас очень интересная реакция. Разжёвыванием впору бы назвать тот мой пост, а не ваш. И если вы так хотите прочесть всё превратно — удачи, читайте превратно без меня.

[Xaositect]

maximav в сообщении #1171636 писал(а):

Короче, берем булеан от счетного множества, смотрим на всю систему аксиом ZFC и ищем: как отсюда создать всем хорошо известный $\mathbb R$ у упорядочением и сложением-вычитанием.

Берем одну из известных конструкций, устанавливаем явную биекцию с булеаном, переносим операции очевидным образом. Аксиома выбора не нужна.

[Someone]

Я уже вижу, что никакого результата эта дискуссия иметь не будет.
Единственный разумный вариант: пусть maximav возьмёт одну из известных конструкций действительных чисел, например, с помощью сечений в множестве рациональных чисел или с помощью фундаментальных последовательностей рациональных чисел (экзотические конструкции брать не будем), и покажет, где именно там используется аксиома выбора. Либо признает, что указанная аксиома не используется. В обоих случаях вопрос будет решён.

Если же вместо этого maximav будет продолжать талдычить про установление порядка по теореме Цермело, то, я полагаю, модератор снесёт тему в Пургаторий.

[maximav]

От вас требуется указать, где я утверждаю использование AC, а чтобы отбить у вас охоту на гуманитарные blah-blah- с прилагательными, повторю.

1. Указать место (глаголы и существительные) в постах maximav, где он занимается последовательностями/сечениями и показывает/доказывает/ищет/предполагает там использование AC.

Если вы задумаете кликать типа, вот вам ваша

maximav в сообщении #1171589 писал(а):

... без AC не обойтись

то это будет любопытно и я даже приветствую. Публики, умеющей вырезать и соединять слова в смыслы, здесь предостаточно; насмотримся. Давайте, тексты на виду.

2. Потрудитесь также отыскать, где от вас, или вообще, спрашивалось

Someone в сообщении #1171476 писал(а):

О том, где при построении математического анализа применяется аксиома выбора...

Или вы считаете, что указать на книжку по истории математики, есть неотразимый аргумент. Что там еще у нас из убийственных контраргументов?

Someone в сообщении #1171609 писал(а):

Включение — не операция, а отношение.

Объясните пожалуйста, что здесь и как, а то я в текстах все попутал; одно от другого не отличаю. Да и что-то несусветное "a la Зорич-множество" употребляю. Идем дальше? Ваше желание приписать мне "вами желаемое" лежит на поверхности, так как больное воображение вообразило вам про вас же: "Он меня спросил, (= я умный-эксперт), поэтому посоветую ему книжку Медведева.... Ему не понять, что талдычание про упорядочение на булеане есть то же, что я ему вдалбливаю про постулаты на сечениях без AC". Придется вас расстроить. Если надумаете отвечать, то потрудитесь быть бинарным. Брать мое утверждение "да-нет" и утверждать свое "нет-да". Вспомните из 1-го класса школы отличия между вопросами и утверждениями. Шансов переспрашивать у вас уже нет: было написано предостаточно, читайте.

Неплохо бы знать, что тексты-ответы много о чем говорят, включая уровень квалификации и, на худой конец, то, что называется математическая интуиция. С ней у вас точно проблемы, коль скоро видно, что вы не задавались вопросом о (возможном/невозможном) соотношении между заклинаемыми упорядочениями (аксиомы a la Зорич) на десятичных дробях/сечениях с одной стороны и теми упорядочениями, которые гарантирует т.Цермело на всех множествах и, в частности, на изоморфном к ним булеане от $\mathbb N$. Даже после моего разжевывания про то, какие наводящие соображения здесь приходят на ум (естественные отношения по включениям и т.п.), вы продолжаете заклинать про "заклинаемое $<_{\mathbb R}$". Вам известно, что внешняя аксиома (или высказывательная функция) это не тоже самое, что теорема, исходящая из "внутренней" AC. Даже если это и теорема существования?
Сергей Прокофьев, в адрес какого-то окаменелого классициста (кажется Глазунов), говорил: безнадежно. Вот и я вижу с ваших постов. У вас безнадежно; сесть на «голый булеан» и подумать, можно или не можно там что-то сделать через AC. Слова

maximav в сообщении #1171589 писал(а):

С другой стороны... если желать этот постулат превращать в вывод

вам, видать, ни о чем не говорят.

Someone в сообщении #1171658 писал(а):

Я уже вижу, что никакого результата эта дискуссия иметь не будет

Пребывайте в состоянии, что никто не догадывается, что вы, даже после доп разжевываний, но в силу остутствия интуиции, просто не знаете, что отвечать по-существу.

Модераторам, просьба просканировать предыдущие посты на предмет возникновения личностно характеристических наклонений. А чтобы у Someone не складывалось впечатления, что я на него жалуюсь, поддержу его предложение про пургаторий и с удовольствием отыграюсь на нем в роли пургатиста. Но, коль скоро он сунулся со своими оценочными суждениями в адрес пользователя $X$ ($X ={}$ maximav), то ему придется выполнить условие: усердно отвечать пургатику-ферматику со списком ZFC перед собой + кое какие книжки. Первая тема будет: «Сказ о том, как $\mathbb R'$ стал тем же самым, что и вейерштрассовский $\mathbb R$ с $<_{\mathbb R}$» (обозначения выше). Или, скажем, «найдите отличие между "вам уже объясняли" и "вам уже заклинали"». У меня, ей богу, прямо фантазия разыгрывается от возможных цирковых мат дискуссий. Попкорном хочется запастись. Хорошая идея для повышения популярности сайта и ради бесплатного математического write-show.

Вывод: полезный и необходимый для этой темы. Оставьте, Someone, лучше ее в покое и ищите свое самоутверждение в других пургаториях. Я не сомневаюсь в уровне вашего интеллекта для достижения там успеха при демонстрации своей значимости перед "недоучками типа maximav". Может даже мне станет жалко вас.

А пока я подожду, когда здесь появится аккуратный матЛогик, которому этот и мой второй пост будет достаточным, чтобы недвусмысленно и без прилагательных прокомментировать/ответить на то, что мне не ясно. Профессор Снэйп точно может помочь...

[Aritaborian]

(Оффтоп)

maximav в сообщении #1171847 писал(а):

Профессор Снэйп точно может помочь...

Увы, нет.