Придуманный олимпиадный интеграл.

[ProPupil]

В последние два дня пришло вдохновение, и я родил следующую задачу.

Вычислить $\iint\limits_E drd\varphi$, где $E$ - область, ограниченная замкнутой кривой, заданной в полярных координатах уравнением $\left\{ 0 \leq r \leq \frac{\pi^2}{8}, 0 \leq \varphi < 2\pi: \sqrt{r(1-\sin\varphi)}=\sin\left(2\sqrt{r(1+\sin\varphi}\right)\right\}$.

(Оффтоп)

Ответ равен 2

[Markiyan Hirnyk]

Пожалуйста, уточните: подинтегральная функция равна $1$ или $r$ ?

[gris]

Судя по ответу, это площадь сердечка, которое занимает чуть меньше половины круга, то есть там должен стоять якобиан. Ведь интеграл от единички будет гораздо больше (если я правильно нарисовал ). Сердечко симметрично относительно вертикали.

[Markiyan Hirnyk]

Разделяю Ваше мнение. Расчет с Математикой подтверждает его:

NIntegrate[ Boole[Sqrt[r*(1 - Sin[phi])] <= Sin[2*Sqrt[r*(1 + Sin[phi])]]], {r,  0, Pi^2/8}, {phi, 0, 2*Pi}]
3.99981

По-видимому, имеем дело с жертвой аборта.

[ProPupil]

Подынтегральная функция равна 1, якобиан не пропущен, и вычисляется не площадь этого сердечка.

[Markiyan Hirnyk]

Идея решения заключается в следующем. Трудность при вычислении интеграла состоит в том, что граница множества интегрирования задается неявным уравнением, которое не решается относительно ни одной переменной в явном виде. Произведем замену переменных, в результате которой уравнение границы множества интегрирования упрощается.
$\{u = r-r\sin(\varphi), v = r\cos(\varphi)\} $
$\{ r = (1/2)(u^2+v^2)/u, \varphi = \arctg (-(u^2-v^2)/(u^2+v^2), 2uv/(u^2+v^2)) \}$
См. Вики, atan2 относительно обозначения, которое часто употребляется в языках программирования и редко - в русскоязычной математической литературе.
Возникает естественный вопрос: как додуматься до нее? Было сделано две попытки. Одна из них - $ \{u = r-r\sin(\varphi), v =r+ r\sin(\varphi)\}$ - оказалась неудачной, вторая - успешной.
Далее, множество интегрирования имеет форму перевернутой черви (одна из карточных мастей) с вертикальной осью симметрии $\{(r, \varphi): \varphi= \pi/2\}$. Я не знаю, как построить множество интегрирования без применения математических пакетов (Если я ошибаюсь, пусть старшие товарищи меня поправят.). Из технических соображений рассмотрим интегрирование по правой половине множества $E$ в обозначениях вопрошателя.
После замены переменных множество
$ E_1:=\{(r,\varphi):\sqrt{r(1-\sin(\varphi))} \le \sin(2\sqrt{r(1+\sin(\varphi))}),\varphi \ge -\frac \pi 2, \varphi \le \frac \pi 2\}$
переходит в множество
$E_2:=\{(u,v):\sqrt{u} \le \sin(2\sqrt{v^2/u})\}.$
Заметим, что отрезок $\{(r,\varphi): r\ge 0,\,r \le \frac {\pi^2} 8, \varphi=\frac \pi 2 \}$ при этом стягивается в точку - начало координат (Именно в связи с этим обстоятельством интегрируем по половине $ E$, ибо образ всего $ E$ состоит из двух множеств, пересекающихся только в начале координат $u,\,v$ .). Понятно, что $ u$ и $v$ неотрицательны. Изображение множества $E_2$ несколькими способами (и другие вычисления сделанные с Мэйплом) см. в прилагаемом PDF файле.
Координаты точек границы множества $ E_2 $ удовлетворяют уравнению $\sqrt{u} = \sin(2v/ \sqrt{u})$. Среди бесконечного множества его действительных решений выбираем два $v=(1/2)\arcsin(\sqrt{u})\sqrt{u} $ и $v=-(1/2(\arcsin(\sqrt{u})-\pi))\sqrt{u}, u\ge 0,\, u\le 1$. Их графики действительно ограничивают $E_2$ (см. приложенный файл). Определитель якобиана отображения
$\{r = (1/2)(u^2+v^2)/u, \varphi = \arctg(-(u^2-v^2)/(u^2+v^2), 2uv/(u^2+v^2))\}$
равен $\frac 1 u$ , что находится вычислением. Теперь искомый интеграл равен
$2\int\limits_{E_1} \,drd \varphi = 2\int\limits_{E_2} \frac 1 u dudv$ .
Двойной интеграл вычисляется как повторный
$2\int\limits_{E_2} \frac 1 u dudv = 2\int\limits_0^1\left(\int\limits_{(1/2)\arcsin(\sqrt{u})\sqrt{u}}^{-(1/2(\arcsin(\sqrt{u})-\pi))\sqrt{u}}\frac 1 u \,dv \right)\,du.$
Внутренний интеграл равен $1/2\,\frac {-2\,\arcsin \left( \sqrt{u} \right) +\pi}{\sqrt{u}}.$
Теперь $2 \int\limits_0^1 1/2\,\frac {-2\,\arcsin \left( \sqrt{u} \right) +\pi}{\sqrt{u}}\,du = 4.$
Поскольку после замены переменных получается несобственный интеграл, то требуются дополнительные рассуждения. Вместо $E_2$ рассмотрим $E_2(\varepsilon):=E_2 \cap \{(u,v): u\ge \varepsilon\}$ где $\varepsilon >0,\varepsilon<1,$ и $E_1(\varepsilon)$ - прообраз $E_2(\varepsilon)$.
Поскольку $v =O(\varepsilon),\, \varepsilon \downarrow 0, $то эти множества исчерпывают соответственно $E_2$ и $E_1$.
Задача напоминает мне примеры и упражнения из

Цитата:

Г. Харди, Курс чистой математики
Э. Гурса, Курс математического анализа

времен очаковских и покоренья Крыма.