2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Минимизация/максимизация вероятности по числу испытаний
Сообщение22.11.2016, 17:20 
Здравствуйте!
Вероятность выпадения орла 0.48, решки 0.52. Необходимо выбрать такое n, что бы вероятность события "число орлов строго больше n", была максимальной при 2n подбрасываниях.

Пока дошел до того, что нам надо каким то образом либо максимизировать правую часть биномиального распределения, либо как то минимизировать левую.
Думал минимизировать асимметрию, но у меня получилось, что n должно быть бесконечным.
Моделировал на компьютере, получилось, что оптимальное число n равно 13. Вроде как.

Собственно вопрос, как максимизировать/минимизировать такие ряды, или есть способ проще? Ну или какое нибудь хитрое свойство биномиального распределения...

 
 
 
 Re: Минимизация/максимизация вероятности по числу испытаний
Сообщение23.11.2016, 09:30 
Возьмите те части суммы, которые хотите минимизировать, в случае $2n$ и $2(n+1)$ бросаний и составьте их отношение.

 
 
 
 Re: Минимизация/максимизация вероятности по числу испытаний
Сообщение23.11.2016, 12:03 
Аватара пользователя
Как вариант - для больших n аппроксимировать нормальным распределением, дополнив для малых n непосредственным расчётом для биномиального, как
$P(m_e>n)=\Sigma_{k=n+1}^{2n}C_n^k p^k(1-p)^{2n-k}$

 
 
 
 Re: Минимизация/максимизация вероятности по числу испытаний
Сообщение23.11.2016, 12:47 
Аватара пользователя
Здесь не требуются большие значения $n$, так что аппроксимация нормальным распределением бесполезна.
Но и решать перебором тоже не хочется…

 
 
 
 Re: Минимизация/максимизация вероятности по числу испытаний
Сообщение23.11.2016, 13:20 
Аватара пользователя
Ну, вот посчитал через аппроксимацию нормальным и биномиально. Разница для N=1 составляет 0.023, для прочих значений 2-4 десятитысячных (и, скорее всего, не "погрешность аппроксимации биномиального нормальным", а погрешность вычислительных формул в пакете)
Изображение
Наибольшая вероятность для N=12

 
 
 
 Re: Минимизация/максимизация вероятности по числу испытаний
Сообщение23.11.2016, 19:08 
Аватара пользователя
Виноват, в одном место "двойку" потерял.
После исправления нормальная аппроксимация у меня имеет максимум при $n=12{,}5$, а прямое вычисление по биномиальному распределению даёт наибольшее значение в двух точках.

 
 
 
 Re: Минимизация/максимизация вероятности по числу испытаний
Сообщение23.11.2016, 20:36 
Аватара пользователя
Аналогично.

 
 
 [ Сообщений: 7 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group