Решение уравнения (Автомодельгный рост пузырька в перегр...)

[netang]

Здравствуйте. В книге Нигматулина Р.И. "Динамика многофазных сред ч.1" в теме автомодельный рост пузырька в перегретой жидкости приводится следующее уравнение:

$\displaystyle \frac{d^2T}{d\eta^2}+(h\eta + \frac{2}{\eta}-\frac{(1-\varepsilon)h}{\eta^2})\frac{dT}{d\eta} = 0$

Я сделал замену производной $u = \frac{dT}{d\eta}$ и пришел к такому уравнению:

$\displaystyle \frac{du}{hT+\frac{2u^2}{T}-\frac{ghu^3}{T^2}} = - d\eta$

Какую замену можно сделать, чтобы проинтегрировать данное выражение? Что-то подзабыл как такие интегралы вычислять :( стыдно.

[Утундрий]

Найдите корни знаменателя и разложите дробь на простые.

[amon]

netang в сообщении #1170628 писал(а):

и пришел к такому уравнению:
$\displaystyle \frac{du}{hT+\frac{2u^2}{T}-\frac{ghu^3}{T^2}} = - d\eta$

Как Вам это удалось? (IMHO, где-то Вы соврали). Нельзя ли по-подробнее.

[Утундрий]

Чьорд, на первое уравнение я и не глянул...

[netang]

$\displaystyle \frac{dT}{d\eta} = u \Rightarrow \int \frac{dT}{u} = \int d\eta \Rightarrow \eta = \frac{1}{4}T+C_1$ (тут я соврал, $C_1$ пропустил)
$\displaystyle \frac{du}{d\eta} + (\frac{h}{u}T+C_1h + \frac{2}{\frac{1}{u}T+C_1} - \frac{gh}{\frac{1}{u^2}T^2 +\frac{2}{u}TC_1 + C_1^2})u = 0$
Получилось более страшное уравнение.

Цитата:

Найдите корни знаменателя и разложите дробь на простые.

Я думал так сделать, но ведь корни в явном виде не выразить?

[Someone]

netang в сообщении #1170628 писал(а):

Здравствуйте. В книге Нигматулина Р.И. "Динамика многофазных сред ч.1" в теме автомодельный рост пузырька в перегретой жидкости приводится следующее уравнение:

$\displaystyle \frac{d^2T}{d\eta^2}+(h\eta + \frac{2}{\eta}-\frac{(1-\varepsilon)h}{\eta^2})\frac{dT}{d\eta} = 0$

Я сделал замену производной $u = \frac{dT}{d\eta}$ и пришел к такому уравнению:

$\displaystyle \frac{du}{hT+\frac{2u^2}{T}-\frac{ghu^3}{T^2}} = - d\eta$

Очень странный у Вас результат замены получился. Должно быть $\frac{du}{d\eta}+\left(h\eta + \frac{2}{\eta}-\frac{(1-\varepsilon)h}{\eta^2}\right)u=0$. И это, конечно, уравнение с разделяющимися переменными.

[netang]

Someone в сообщении #1170774 писал(а):

Должно быть $\frac{du}{d\eta}+\left(h\eta + \frac{2}{\eta}-\frac{(1-\varepsilon)h}{\eta^2}\right)u=0$.

Ой, что-то я перемудрил, еще и $\eta$ пытался заменить.

[netang]

В итоге получил то, что требовалось получить

$\displaystyle \frac{dT}{d\eta} = \frac{1}{C_1\eta^2}e^{-h(\frac{\eta^2}{2}+\frac{1-\varepsilon}{\eta})}$

Спасибо.