Неприводимые представления группы и алгебры Ли

[Hasek]

Не получается разобраться с двумя задачами.

• Описать неприводимые представления группы $SO(3)$.
• Доказать, что все неприводимые представления трёхмерной алгебры Гейзенберга (коммутационные соотношения выглядят как $[X,Y]=Z, ~[X,Z]=[Y,Z]=0$) одномерны.

Все неприводимые представления $SO(3)$ описываются сферическими функциями, описание этого есть, например, в третьем томе курса алгебры Кострикина или в разных статьях в интернете, но все они, скажем так, несколько "тяжеловесны" (две-три страницы печатного текста вокруг да около). Может быть существует более короткое доказательство с учётом того факта, что неприводимые представления связной группы Ли совпадают с неприводимыми представлениями её алгебры Ли? Алгебра Ли $so(3)$ состоит из кососимметричных матриц $3 \times 3$ с нулевым следом.

Во второй задаче самым коротким путём мне видится тот, что представление неприводимо тогда и только тогда, когда скалярный квадрат его характера единица (характер представления -- это след матрицы представления). Но не могу понять, а как эту самую матрицу явно записать, чтобы предъявить, что у неё везде на диагонали стоят единицы.

[Metford]

Во-первых, зачем так обязательно иметь дело со сферическими функциями? Есть же и другой способ построения неприводимых представлений.
Во-вторых, со сферическими функциями тоже не слишком сложно. Они выступают в роли базиса в пространстве представления - множестве функций, заданных на сфере. Когда заданы инфинитезимальные преобразования (а для трёхмерных вращений они легко устанавливаются), то уже не составляет труда найти этот базис. Процесс его построения показан много где. Хоть в третьем томе Ландау. Короткие доказательства лучше не искать. Простотой и ясностью они, как правило, не отличаются.

Ещё могу посоветовать заглянуть в книгу Гельфанда, Минлоса и Шапиро "Представления группы вращений и группы Лоренца". Про группу Лоренца там, действительно, тяжеловесно написано. А вот о группе вращений - вполне удобоваримо.

[lek]

Hasek в сообщении #1170595 писал(а):

Описать неприводимые представления группы $SO(3)$.

Можно использовать стандартный метод построения спектра собственных значений оператора углового момента (подробности в книге Ченга-Ли "Калибровочные теории в физике элементарных частиц", раздел 4.2.)

Hasek в сообщении #1170595 писал(а):

Доказать, что все неприводимые представления трёхмерной алгебры Гейзенберга одномерны.

Это следует из разрешимости алгебры Гейзенберга (см., например, Барут-Рончка "Теория представлений групп и ее приложения", глава 8.1).

[vanger]

Hasek в сообщении #1170595 писал(а):

Может быть существует более короткое доказательство с учётом того факта, что неприводимые представления связной группы Ли совпадают с неприводимыми представлениями её алгебры Ли?

Односвязной. $SO(3)$ связна, но не односвязна. А вот $SU(2)$ -- универсальное накрытие $SO(3)$ -- односвязна, и можно описать её неприводимые представления, а потом посмотреть, какие из них соответствуют представлениям $SO(3)$. Это лаконично написано, например, в Hall, "Lie Groups, Lie Algebras and Representations: An Elementary Introduction", параграф 4.7.