Неполнота у Пресбургера

[Someone]

knizhnik в сообщении #1169845 писал(а):

Приведите пожалуйста формулу с умножением.

Дык, сами, что ли, не можете написать какую-нибудь формулу, содержащую умножение произвольных натуральных чисел (не констант)? В арифметике Пресбургера такую формулу написать нельзя.

knizhnik в сообщении #1169845 писал(а):

Но для построения моделей разница есть. И эти модели подойдут и для Пресбургера.

Разумеется, модель арифметики Пеано является одновременно и моделью арифметики Пресбургера. И что дальше? Чего Вы хотите-то?

[knizhnik]

Someone в сообщении #1169863 писал(а):

Дык, сами, что ли, не можете написать какую-нибудь формулу, содержащую умножение произвольных натуральных чисел (не констант)?

Невыводимую. Да, не могу. А вы можете? Пусть это будет отдельный вопрос про формулу. Совсем отдельный вопрос.

[Someone]

knizhnik в сообщении #1169865 писал(а):

Невыводимую.

Зачем?

knizhnik в сообщении #1169841 писал(а):

Если одна конкретная формула будет предъявлена, я смогу разобраться, почему она не подходит для арифметики Пресбургера.

Если формула арифметике Пеано не содержит умножения, в котором оба множителя переменные, то она "подходит" для арифметики Пресбургера. Если содержит, то "не подходит". Потому что содержит умножение. Которое в арифметике Пресбургера не выражается.

[knizhnik]

Someone в сообщении #1169869 писал(а):

Зачем?

Это вопрос.

Someone в сообщении #1169869 писал(а):

Если содержит, то "не подходит". Потому что содержит умножение. Которое в арифметике Пресбургера не выражается.

Это не важно. Если вы просто не знаете такую формулу, то скажите сразу.

[Someone]

knizhnik в сообщении #1169872 писал(а):

такую формулу

Какую "такую"? Если с умножением, то это запросто. Неужели Вы сами такую формулу придумать не можете, чтобы ей в арифметике Пресбургера никакая формула не соответстввовала, поскольку умножение невыразимо в арифметике Пресбургера? Внимание: произведение постоянных или постоянной на переменную в арифметике Пресбургера записать нетрудно.
Если невыводимую, то тоже знаю. Можно взять любую ложную формулу, и даже с умножением.
Если же Вам нужно независимую формулу (для которой невыводимы и она сама, и её отрицание), то тоже "знаю" в том смысле, что мне известны такие утверждения арифметики Пеано. Но формализацией их я заниматься совершенно точно не буду, поскольку это потребует от меня слишком больших усилий (в том числе, изучения специальной литературы, которая меня весьма мало интересует).
Я также не понимаю, что Вы со всем этим будете делать, если вдруг каким-то образом получите требуемую формулу, которая в полностью формализованном виде, без сокращений, наверняка будет совершенно необозримой.

[nazarov_m]

knizhnik в сообщении #1169615 писал(а):

nazarov_m в сообщении #1166871 писал(а):

Если есть желание получить конечную аксиоматизируемость и непротиворечивость, то тогда можно использовать арифметику Пресбургера. Для неё доказана непротиворечивость, полнота и алгоритмическая разрешимость. Понятное дело что такая теория при этом будет беднее обычной арифметики.

А все-таки кто-то может мне объяснить? Вот все аксиомы Пресбургера доказываются же у Пеано. А у Пеано допускаются нестандартные натуральные числа. Значит нестандартная модель подойдет и для Пресбургера и не будет полноты. В чем я ошибаюсь?

Что за страсти такие. Аксиомы не доказываются. Возможно что вы имеете ввиду что аксиомы арифметики Пресбургера наследуются в арифметики Пеано? Про какие вы там нестандартные числа говорите совершенно не ясно. Возможно вы про особую кодировку для "Гёделевских высказываний"? Без умножения вы его не построите.
https://en.wikipedia.org/wiki/G%C3%B6del_numbering
А уж про стандартную и нестандартную модель это мне совсем не понятно. Что это такое и каким боком это к полноте относится?