Определение локально компактного пространства

[Padawan]

Рассмотрим два определения локально компактного пространства.
Определение 1. Пространство называется локально компактным, если у каждой точки найдется открытая окрестность, замыкание которой компактно.
Определение 2. Пространство называется локально компактным, если у каждой точки найдется компактная окрестность.
(под окрестностью точки $x$ понимается множество, для которого точка $x$ является внутренней)
Если пространство хаусдорфово, то эти определения эквивалентны. Будут ли они эквивалентны в общем случае?

[quartermind]

Не будут. Проблемы возникают, когда замыкание компактного множества оказывается некомпактным, иначе всё тривиально. Можете придумать пример?