Неравенство 9.

[TR63]

Рассмотрим функцию
$f_n=\frac{(a_1+a_2)(a_2+a_3)+...+(a_{n-1}+a_n)(a_n+a_1)}{2^n}-\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}\cdot\sqrt[n]{(a_1a_2... a_n)^{n-1}}$

При $n=(1;2;3)$ функции $f_n$ являются однородными и перестановочными. (Перестановочные являются круговыми, но не любая круговая является перестановочной; перестановочность означает, что, если сделать замену $a_i\to a_k\to a_i$, то значение функции не изменится). При $n>3$ не являются перестановочными.

При $n=(1;2;3)$ $f_n\ge0$. Это элементарно доказывается.
Вопрос: при $n=(4;5)$ знак функции сохранится или возможно его изменение.

Мой гипотетический прогноз-изменится, т.к. все источники непрерывного сигнала искривляются на границе (это грубая формулировка гипотезы). Границу здесь можно определить двумя способами. 1). отсутствие перестановочного свойства (это элементарное свойство). 2). отсутствие периодичности радикала (но это сложное свойство).
Остаётся проверить гипотезу об изменении знака функции практикой.

$n=5$

$a_1a_2a_3a_4a_5=1$

$a_1=1$

$a_2=a_3=a_4$

$a_5=\frac{1}{a_2^3}$

$a_2(a_2+1)(a_2^3+1)+(a_2+1)(a_2^3+1)(a_2^3+a_2^2+1)-4a_2^4-2a_2(2a_2+1)(a_2+1)\ge0$

$a_2=(1;1.12728)$ (положительные корни.)
Вычисления проделаны на Вольфраме.
Наличие двух положительных корней свидетельствует об изменении знака функции. Т.е. гипотеза подтвердилась практикой.
При $n=4$ проверяем аналогично. Знак также изменяется (но этот случай в "Олимпиадном разделе не рассматривается, поэтому его рассматривать не обязательно).
Прошу проверить вычисления.

[TR63]

TR63 в сообщении #1168980 писал(а):

При $n=(1;2;3)$ $f_n\ge0$.

Здесь опечатка (несущественная). Должно быть $n=(2;3)$.

(Оффтоп)

Вторая задача из этого источника, обобщающая частным образом первую, путём возведения в разные степени для сохранения знака неравенства, также конструируется, обобщается и решается с помощью моей гипотезы (сказано, что имеется аналитическое решение, а это значит, что гипотетическое решение даёт верный результат; стоит подумать, единственно ли для неё обобщение или могут существовать и другие степени; очень интересная задача).

[ewert]

TR63 в сообщении #1169933 писал(а):

Здесь опечатка (несущественная). Должно быть $n=(2;3)$.

$n=2$ тоже не годится.

Если буквально как у Вас, то знак при $n\geqslant4$ переменен тривиальным образом -- он очевидно отрицателен при одинаковых $a_i$ и положителен при одном из $a_i$, стремящемся к нулю.

[TR63]

ewert в сообщении #1170545 писал(а):

$n=2$ тоже не годится

Не поняла, почему не годится.
$\frac{(a_1+a_2)(a_2+a_1)}{4}\ge\frac{a_1+a_2}{2}\cdot\sqrt{a_1a_2}$
Сокращаем, применяем АМ-ГМ. Что не так?

ewert в сообщении #1170545 писал(а):

он очевидно отрицателен при одинаковых $a_i$

Не поняла. При одинаковых переменных функция равна нулю.