Задача по геометрии

[Sergic Primazon]

Интересно еще то, что : $\triangle O_1O_3O_5= \triangle O_2O_4O_6 $- медианные.

$$ O_1O_3= O_4O_6=A\cdot m_b \ , \ O_3O_5= O_6O_2= A\cdot m_c \ , \ O_5O_1=O_2O_4=A \cdot m_a \ , \ A= \dfrac {1}{2} \cdot \sqrt {1+ \left ( \dfrac {a^2+b^2+c^2}{12S}\right )^2}$$

$$ R_K= \dfrac {m_am_bm_cA}{3S} $$

[Rusit8800]

Цитата:

Вычислительное доказательство проще.

Конечно проще, достаточно расписать уравнения для соответствующих прямых, окружностей и т.п., а затем от решения уравнений зависит ответ. Только вот уравнение далеко не всегда получается не громоздким, и очень легко можно сделать ошибку. На олимпиадах больше приветствуются синтетические доказательства.

-- 16.11.2016, 19:45 --

Раз уж тема так хорошо "разошлась", я представлю еще одну хорошую задачу:

Из некоторой точки $P$ опущены перпендикуляры $PA_1$ и $PA_2$, на сторону $BC$ треугольника $ABC$ и на высоту $AA_3$. Аналогично определяются точки $B_1$, $B_2$ и $C_1$, $C_2$. Докажите, что прямые $A_1A_2$,$B_1B_2$ и $C_1C_2$ пересекаются в одной точке или параллельны.

-- 16.11.2016, 19:46 --

Можно представлять только синтетические решения.

-- 16.11.2016, 19:48 --

Эта задача имеет очень красивое синтетическое решение.