Дифф ур-е с понижением порядка. В явном виде отсутствует X

[Leonid.777]

(Оффтоп)

Просьба не писать ответов в духе "вы не знаете элементарных действий" и т.п.
Да, ошибка, скорее всего глупая, но вопрос в том - где.

Найти решение задачи Коши.

$y''+\frac{1}{4y^3}$=0

$y(1)=2, y'(1)=-4$

1. Сделал замену
$y'=z(y)$, $y''=z'z$

2. Подставил в изначальное ур-е.

$z'z+\frac{1}{4y^3}=0$

3.
$z'=\frac{dz}{dy}$

$\frac{zdz}{dy}=-\frac{1}{4y^3}$

4. Получено д.у, с разделяющимися переменными.
${zdz}=-\frac{dy}{4y^3}$

5.
$\int{zdz}=-\frac{1}{4}\int{\frac{dy}{y^3}}$

$\frac{z^2}{2}=\frac{1}{8y^2}+C_1$; $z^2=\frac{1}{4y^2}+2C_1$; $z^2=\frac{1}{4y^2}+C_2$

$z=\sqrt{\frac{1}{4y^2}+C_2}$

6. "Вспоминаем", что $z(y)=y'$
$y'=\sqrt{\frac{1}{4y^2}+C_2}$

7. Подставим начальные условия.
$y(1)=2, y'(1)=-4$

До этого момента был уверен в своих действиях, а вот дальше я теряюсь. Во всех примерах, которые разбирались, как образцы, да и во всех, подобного типа, которые решались до этого, условия Коши были в точке ноль, а тут в точке единица. Значит подставлять надо как-то по другому?
Если да, то как правильно делать подстановку в этом случае? Вот что получилось у меня:(ерунда)

$-4=\sqrt{\frac{1}{4\cdot2^2}+C_2}$

$16=\frac{1}{16}+C_2$

Если правую часть переобозначить, за новую константу, то её ведь нельзя будет вернуть в предыдущее выражение.
Если считать дальше то получается $C_2=\frac{255}{16}$

[Otta]

Leonid.777 в сообщении #1168520 писал(а):

$\frac{z^2}{2}=\frac{1}{8y^2}+C_1$; $z^2=\frac{1}{4y^2}+2C_1$; $z^2=\frac{1}{4y^2}+C_2$

$z=\sqrt{\frac{1}{4y^2}+C_2}$

Ну, вообще говоря, не только корень. А?

Leonid.777 в сообщении #1168520 писал(а):

Во всех примерах, которые разбирались, как образцы, да и во всех, подобного типа, которые решались до этого, условия Коши были в точке ноль, а тут в точке единица. Значит подставлять надо как-то по другому?

Без разницы. Один значок, другой значок. Какая разница, где засечь скорость с перемещением.

В остальном все нормально.

(Оффтоп)

Leonid.777 в сообщении #1168520 писал(а):

Просьба не писать ответов в духе "вы не знаете элементарных действий" и т.п.

Это Вы на всякий случай, что ли, или уже писали?

[Brukvalub]

Голубчик, "так вы не знаете элементарных действий"! Как такое может случиться?

Leonid.777 в сообщении #1168520 писал(а):

Вот что получилось у меня:(ерунда)
$-4=\sqrt{\frac{1}{4\cdot2^2}+C_2}$

[Leonid.777]

(Оффтоп)

Otta в сообщении #1168524 писал(а):

Это Вы на всякий случай

мне иногда так отвечают. Но моя проблема не в незнании элементарщины, а в том, что я по невнимательности могу написать что-то вроде $3 \cdot 3 = 6$ и пол-часа искать - а где же тут ошибка?

Otta в сообщении #1168524 писал(а):

не только корень

Не понял, что Вы имеете ввиду.

Brukvalub в сообщении #1168525 писал(а):

Как такое может случиться?

По невнимательности. В упор не вижу, что не так.

Так. Распишу по шагам. (Может и ошибку увижу заодно).

До этого момента $\frac{z^2}{2}=\frac{1}{8y^2}+C_1$, как я понял, всё правильно.

1. Избавляюсь от дроби в левой части. Для этого обе части умножаю на 2.
$\frac{z^2\cdot2}{2}=\frac{1\cdot2}{8y^2}+2\cdot C_1$
Двойки сокращаются.
${z^2}=\frac{1}{4y^2}+2C_1$
2. Константу $2C_1$, переобозначаю за $C_2$
${z^2}=\frac{1}{4y^2}+C_2$
3. Избавляюсь от квадрата
$\sqrt{{z^2}}=\sqrt{\frac{1}{4y^2}+C_2}$

${z}=\sqrt{\frac{1}{4y^2}+C_2}$

4. Далее надо подставить условия Коши.
$z = y'$, а $y'$, по условию $ = -4$, $y = 2$
Заменяю $y'$ и $y$ значениями и получаю:
$-4=\sqrt{\frac{1}{4\cdot2^2}+C_2}$

...чего-то я в упор не вижу. Ошибку так и не нашёл.

[Otta]

Решить уравнение $x^2=2$.

Грубо говоря, у Вас ошибка при решении такой задачи.

[Leonid.777]

Otta
Понял. $\pm\sqrt{2}$

[Otta]

Leonid.777 в сообщении #1168536 писал(а):

Понял.

Ну и хорошо. И дорешать дифур не забудьте.