Задача по геометрии на гомотетию

[Rusit8800]

Вот задача из Прасолова:
В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AD$ и из точки $D$ опущены перпендикуляры $DB'$ и $DC'$ на прямые $AC$ и $AB$;точка $M$ лежит на прямой $B'C'$, причём $DM ⊥ BC$. Докажите, что, точка $M$ лежит на медиане $AA_1$

В оригинальном решении Прасолова используется свойства прямой Симпсона, однако почему нельзя доказать так:
Также как и в решении продолжить биссектрису до касания с описанной окружностью в точке $P$, затем из точки $M$ провести прямую параллельную $BC$, которая пересекает биссектрису в точке $L$, и заметить, что соответственные стороны треугольников $MLD$ и $DA_1P$ параллельны, значит при гомотетии с центром $A$ и коэффициентом $AP/AD$, треугольник $MLD$ переходит в $DA_1P$, значит $M$ лежит на медиане $AA_1$.
Может я просто что-то не обосновал до конца?

-- 11.11.2016, 21:51 --

Все, я понял, я не уточнил, что центром гомотетии является именно точка $A$. Видимо доказывать это будет не легче, чем само доказательство Прасолова.