Доказать, что решения дифф. уравнения ограничены

[aush]

Подскажите пожалуйста, как доказать, что все решения дифференциального уравнения $y'=1-e^{sin(y^2)}$ ограничены?

[Brukvalub]

Здесь http://dxdy.ru/viewtopic.php?p=86312&highlight=#86312 обсуждалась похожая задача.

[V.V.]

aush писал(а):

Подскажите пожалуйста, как доказать, что все решения дифференциального уравнения $y'=1-e^{sin(y^2)}$ ограничены?

Посмотрите в моем учебнике (он лежит на http://joker.botik.ru/~trushkov) про уравнения с разделяющимися переменными.

[aush]

Brukvalub, да, спасибо, с этой задачей, вроде, разобрался. Но вот есть с таким же вопросом, но такого вида: $y'=x(y+2)^3(x+y)(y-1)$ Идея, наверно, та же должна быть, но как-то не получается пока зацепиться....

И еще немного. Я, наверно, уже жутко достал своими диффурами, но очень уж хочется разобраться, так что если не очень сложно - посмотрите, пожалуйста, еще несколько, вроде как у меня есть там ошибки, но пока не нашел...

1. $y''+16y=32ctg4x$
$\lambda^2+16=0\Rightarrow\lambda=\pm4i$
Т.е. решение однородного: $y=C_1sin4x+C_2cos4x$
$\left\{ \begin{array}{l}С'_1(x)sin4x+C'_2(x)cos4x = 0,\\ 4С'_1(x)cos4x-4C'_2(x)sin4x = 32ctg4x, \end{array} \right$
$\left\{ \begin{array}{l} С'_1(x)=8ctg(4x)cos(4x),\\ C'_2(x)=-8ctg(4x)sin(4x), \end{array} \right$
$C_2(x)=-2\int cos(4x) d(4x)=-2sin(4x)+C_2$
$C_1(x)=8\int\frac{dx}{sin(4x)}-8\int sin(4x)dx=-2\int\frac{d(cos(4x))}{sin^2(4x)}-2\int sin(4x)d(4x)=-2\int\frac{d(cos(4x))}{1-cos^2(4x)}+2cos(4x)=-ln\left|\frac{cos(4x)-1}{cos(4x)+1}\right|+2cos(4x)+C_1$
И тогда конечный ответ: $y=(C_1-ln\left|\frac{cos(4x)-1}{cos(4x)+1}\right|)sin(4x)+C_2cos(4x)$

2. $4y''=sin(4y); y(0)=\pi/4; y'(0)=1/2$
$[y'=p(y)\Rightarrowy''=p'p]$
$4p'p=sin(4y)\Rightarrow 4pdp=sin(4y)dy\Rightarrow p^2/2=1/16 \int sin(4y)d(4y)\Rightarrow p=-1/8 cos(4y)+C$
$[C=(1/2)^2+1/8 cos(4*\pi/4)=1/8]$
$p^2=(1-cos(4y))/8\Rightarrow p=\pm\sqrt{1-cos(4y)}/\sqrt{8}$
$y'=\pm\sqrt{1-cos(4y)}/\sqrt{8}$
$dy/\sqrt{1-cos(4y)}=\pm dx/\sqrt{8}$
$\int dy/\sqrt{1-cos(4y)}=\pm dx/\sqrt{8}$
1/\sqrt{8}$\int d(2y)/sin(2y)=\pm dx/\sqrt{8}$
$x=\pm $\int d(cos(2y))/sin^2(2y)$
$x=\pm 1/4 ln\left|\frac{cos(2y)-1}{cos(2y)+1}\right|+C$
$[C=0]$
Ответ: $x=\pm \frac{1}{4} ln\left|\frac{cos(2y)-1}{cos(2y)+1}\right|$

3. $x^3y'''+3x^2y''-6xy'-6y=x(-12lnx-52)$
$\lambda(\lambda-1)(\lambda-2)+3\lambda(\lambda-1)-6\lambda-6=0$
$\lambda^3-7\lambda-6=0$
$\lambda_1=-1;\lambda_2=-2;\lambda_3=3$
$y_{o}=C_1e^{-t}+C_2e^{-2t}+C_3e^{3t}=C_1x^{-1}+C_2x^{-2}+C_3x^{3}$
$y_1=e^t(At+B)$
$y'''_1=[e^t(At+B)+Ae^t]''=e^t(At+B)+3Ae^t$
$e^t(At+B)+3Ae^t-7e^t(At+B)-7Ae^t-6e^t(At+B)=-12te^t$
$-12(At+B)-4A=-12t$
$A=1;B=-1/3$
$y_2=Ax+B$
$0-7A-6Ax-6B=-52x$
$A=26/3;B=91/9$
Ответ: $y=y_o+y_1+y_2=C_1x^{-1}+C_2x^{-2}+C_3x^{3}+x(lnx-1/3)+x*26/3+91/9$

[V.V.]

aush писал(а):

Brukvalub, да, спасибо, с этой задачей, вроде, разобрался. Но вот есть с таким же вопросом, но такого вида: $y'=x(y+2)^3(x+y)(y-1)$ Идея, наверно, та же должна быть, но как-то не получается пока зацепиться....

А здесь-то с какой радости решению быть ограниченному?

[aush]

V.V. писал(а):

aush писал(а):

Brukvalub, да, спасибо, с этой задачей, вроде, разобрался. Но вот есть с таким же вопросом, но такого вида: $y'=x(y+2)^3(x+y)(y-1)$ Идея, наверно, та же должна быть, но как-то не получается пока зацепиться....

А здесь-то с какой радости решению быть ограниченному?

ммм... а как показать, что решения не ограничены?

[V.V.]

Ну, например, воспользовавшись теоремой Чаплыгина.

[Henrylee]

aush писал(а):

ммм... а как показать, что решения не ограничены?

Можно попробовать размышлять, разбирая плоскость "по кусочкам". Очевидно, $y=1$ и $y=-2$ - решения. Рассмотрим точки 1-й четверти плоскости выше прямой $y=1$. Тогда, если там существует точка, через которую проходит некоторое решение, то получаем $y'(x_0)>0$, функция возрастает, следовательно не ограничена. Дальше каким-то образом показать, что такая точка существует (или не существует, в этом случае, идем дальше). Таким образом либо доказываем ограниченность, либо неограниченность. Возможно как-то короче можно..

[V.V.]

Henrylee писал(а):

Тогда, если там существует точка, через которую проходит некоторое решение, то получаем $y'(x_0)>0$, функция возрастает, следовательно не ограничена.

Рассмотрим функцию $y=arctg(x)$. Она возрастает, даже производная везде больше нуля, но почему-то ограничена.

[Henrylee]

V.V. писал(а):

Henrylee писал(а):

Тогда, если там существует точка, через которую проходит некоторое решение, то получаем $y'(x_0)>0$, функция возрастает, следовательно не ограничена.

Рассмотрим функцию $y=arctg(x)$. Она возрастает, даже производная везде больше нуля, но почему-то ограничена.

Совершенно верно, извиняюсь, я тут недосказал кое-что. Производная положительная, значит функция возрастает, следовательно, возрастает правая часть уравнения, то есть возрастает опять же производная, из чего следует выпуклость функции вниз, откуда следует неограниченность.

[aush]

Спасибо, с этим, вроде, понятно.

[Brukvalub]

В первых двух задачах при интегрировании Вы неверно выписываете табличный интеграл:

\[ \int {\frac{{dx}}{{1 - x^2 }} = \frac{1}{2}} \ln \left| {\frac{{1 + x}}{{1 - x}}} \right|+C \]

. Вы же интегрируете так:

\[ \int {\frac{{dx}}{{1 - x^2 }} = \frac{1}{2}} \ln \left| {\frac{{1 - x}}{{1 + x}}} \right|+C \]

, что неверно.

[aush]

Нда, это я, конечно, не прав. В первых двух только в этом ошибка?

[Brukvalub]

aush писал(а):

В первых двух только в этом ошибка?

Других ошибок я не нашел.

[LuckyMan]

V.V. в сообщении #94594 писал(а):

Посмотрите в моем учебнике (он лежит на http://joker.botik.ru/~trushkov) про уравнения с разделяющимися переменными.

а можно ссылку еще раз отправить на ту не заходит