Операции над подпространствами

[NEvOl]

Пытаюсь разобраться с операциями над подпространствами.
4 операции:
1) Пересечение
$\{x | x\in P \wedge x \in Q\}$
2) Объединение
$\{x | x\in P \vee x \in Q\}$
3) Сумма
$\{x | x=a+b, a\in P, b \in Q\}$
4) Прямая сумма
$V =P+Q \wedge P \cap Q = \{ 0\}$

Если есть 2 подпространства заданные линейными оболочками
для $P$ на векторах $a_1,a_2, ... , a_n$ и $Q$ на векторах $b_1,b_2, ... , b_m$

как правильно оперировать этими понятиями ? я делаю так, но не уверен что это верно
1) Пересечение
перехожу от описания подпространств через линейные оболочки к описанию через системы уравнений (для P и Q) и объединяю две системы в одну общую, при этом полученное пространство является множество решений данной системы.
2) Объединение
Составляю новую линейную оболочку содержащую как вектора $a_1, .. ,a_n$ так и $b_1, .. ,b_m$ заметим что в этом случае неважно какие вектора будут базисными (те что принадлежат $a_1, .. ,a_n$ или $b_1, .. ,b_m$ или и тем и тем)
3) Сумма
Составляю новую линейную оболочку содержащую как вектора $a_1, .. ,a_n$ так и $b_1, .. ,b_m$ важно что базисные вектора содержат хотя бы один вектор из $a_1, .. ,a_n$ и хотя бы 1 вектор из $b_1, .. ,b_m$.
4) Прямая сумма
пространство $V$ является прямой суммой подпространств $P$ и $Q$ если однородная система полученная из 2х систем (одна описывающая подпространство $P$, вторая описывающая подпространство $Q$) не имеет решений кроме тривиального (т.е. пересечение подпространств дает нулевой вектор ) при этом базис $V$ содержит векторы как из $P$ и $Q$ (сумма подпространств).

Поправьте меня пожалуйста, где есть неточности (или что вообще неверно).

[Brukvalub]

NEvOl в сообщении #1167560 писал(а):

2) Объединение
Составляю новую линейную оболочку содержащую как вектора $a_1, .. ,a_n$ так и $b_1, .. ,b_m$ заметим что в этом случае неважно какие вектора будут базисными (те что принадлежат $a_1, .. ,a_n$ или $b_1, .. ,b_m$ или и тем и тем)

А разве объединение подпространств всегда является подпространством?

[arseniiv]

NEvOl в сообщении #1167560 писал(а):

важно что базисные вектора содержат хотя бы один вектор из $a_1, .. ,a_n$ и хотя бы 1 вектор из $b_1, .. ,b_m$

Это вообще непонятно к чему. Если $U = \langle \mathbf a_1,\ldots\rangle$, $V = \langle\mathbf b_1,\ldots\rangle$, то $U+V = \langle\mathbf a_1,\ldots,\mathbf b_1,\ldots\rangle$, но в общем случае у $U+V$ можно будет найти базис, в который не входит ни один $\mathbf a_i$ и ни один $\mathbf b_i$. И линейная оболочка существует для любого множества векторов, они не обязаны быть линейно независимыми.

[NEvOl]

Brukvalub в сообщении #1167567 писал(а):

А разве объединение подпространств всегда является подпространством?

только пересечение и сумма всегда являются подпространствами.
Вот пока не пойму разницы между объединением и суммой подпространств.
Сумма всегда порождает подпространство, объединение нет.
Для суммы важно что бы для любого вектора из $V=P+Q$ его можно было представить как сумму 2х векторов один из которых принадлежит $Q$ другой $P$, в то время как объединение это просто объединение 2х множеств векторов.
Этим они отличаются ?

[Slav-27]

NEvOl
Как-то так. Возьмём $\mathbb R^2$. Координатные оси -- 1-мерные подпространства. Их сумма -- вся плоскость, а объединение -- крест.

[NEvOl]

Спасибо, стало понятней. Получается если нам нужно описать сумму двух подпространств $P=<a_1,a_2,..a_n>$ и $Q=<b_1,b_2,..b_m>$ , то $V=<a_1,a_2,..a_n,b_1,b_2,..b_m>=P+Q$ т.к. $\{x| x=(\alpha _1a_1+\alpha _2a_2+..+\alpha _na_n)+(\alpha _{n+1}b_1+\alpha _{n+2}b_2+..+\alpha _{n+m}b_m)=a+b\}$ где $a\in P$ а $b \in Q$ ?

[Slav-27]

NEvOl
Да, сумму вы написали правильно, если угловые скобки значат линейную оболочку (и в любом случае их лучше набирать \langle, \rangle).

[NEvOl]

Slav-27 в сообщении #1167860 писал(а):

(и в любом случае их лучше набирать

виноват.
Вот еще такое уточнение по операциям на подпространствах:
Для любых подпространств можно выполнить операции: пересечения, объединения и суммы. При этом прямая сумма это свойства подпространств (не над любыми 2-мя подпространствами можно выполнить операцию прямой суммы т.к. не всегда пересечение дает нулевой вектор) ?

[Slav-27]

NEvOl
Сумма подпространств определяется тем, как они вложены в объемлющее пространство, и, действительно, не всегда прямая. Но можно вытащить подпространства из объемлющего пространства и рассмотреть их прямую сумму.

Пример: рассмотрим $\mathbb R$ как подпространство $\mathbb R$: тогда в этом пространстве сумма $\mathbb R+\mathbb R$ есть, очевидно, $\mathbb R$, и сумма не прямая. Но можно рассматривать и $\mathbb R\oplus\mathbb R\cong \mathbb R^2$.

[arseniiv]

NEvOl
Ну зачем вы опять про объединение говорите. Про него ведь уже заметили, что оно — не операция на подпространствах, т. к. его результат не всегда подпространство. Если бы у нас были просто множества — объединяйте и пересекайте их сколько душе угодно, но для линейных пространств аналогом объединения будет в некотором смысле именно сумма.

NEvOl в сообщении #1168418 писал(а):

При этом прямая сумма это свойства подпространств (не над любыми 2-мя подпространствами можно выполнить операцию прямой суммы т.к. не всегда пересечение дает нулевой вектор) ?

Да, в случае подпространств одного пространства прямая сумма — это не операция, но «$W$ — прямая сумма $U$ и $V$» — это такое же законное высказывание о $U,V,W$ как, например, «$W$ — пересечение $U$ и $V$». Можно сказать, что прямая сумма — это частично определённая операция — когда $U\cap V=\{0\}$, $U\oplus V$ существует, а в противном случае это просто запись, ничего не обозначающая.