Обобщённые шестимерные координаты

[B@R5uk]

Имеется система из двух тел в трёхмерном пространстве с радиус-векторами $\overrightarrow{{{R}_{1}}}$ и $\overrightarrow{{{R}_{2}}}$, и для описания этой системы я хочу ввести обобщённую систему координат. Две координаты — модули радиус-векторов $r_1$ и $r_2$. Ещё две координаты — сферические углы $\theta$ и $\varphi$ суммы $\overrightarrow{{{R}_{2}}}+\overrightarrow{{{R}_{2}}}$ этих векторов. Ещё одна координата — угол $\gamma$ между векторами. Остаётся выбрать последнюю, шестую координату. Посоветуйте, пожалуйста, как лучше это сделать, чтобы переход к декартовым координатам объектов был наиболее простой.

Последняя координата должна быть такой, чтобы её пределы не зависели от других координат. Есть подозрение, что это должен быть угол, но совершенно нет идей, между чем и чем этот угол должен быть.

[arseniiv]

Посмотрите, какая степень свободы осталась у системы. Вы зафиксировали форму треугольника $O\vec R_1\vec R_2$ и положение его медианы $O\left[\vec R_1+\vec R_2\right]$, вокруг которой он может вращаться.

Что-то ничего простого для описания положения ориентированной плоскости $\vec R_1\wedge\vec R_2$ в голову не приходит.

[amon]

Очень часто удобно в качестве координат выбрать координату центра масс $\vec{R}=\frac{m_1\vec{R}_1+m_2\vec{R}_2}{m_1+m_2}$ и разностную координату $\vec{r}=\vec{R}_1-\vec{R}_2$

[B@R5uk]

Ну, длину разностного вектора я знаю: $\sqrt{r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2{{r}_{1}}{{r}_{2}}\cos \gamma }$. Если удастся как-то задать его направление в виде единичного вектора как функцию от какого-нибудь угла $\alpha$, то задача решена. Очевидно, что эта функция будет иметь в качестве аргументов так же и углы $\theta$ и $\varphi$. И, возможно, так же и величины $r_1$ и $r_2$.

-- 09.11.2016, 02:26 --

arseniiv в сообщении #1167393 писал(а):

Что-то ничего простого для описания положения ориентированной плоскости $\vec R_1\wedge\vec R_2$ в голову не приходит.

Обычно вроде для описания плоскости вводят нормаль к ней и точку. Но тут направление нормали будет зависеть от направления медианы.

[arseniiv]

К слову, точка не нужна (в данном случае плоскость всегда проходит через $\vec0$), и нормаль или бивектор $\vec R_1\wedge\vec R_2$ — не важно, и там, и там по три компоненты (раз уж мы меряем углы и длины, пространство евклидово, и там они друг в друга переводятся, а если бы не было скалярного произведения, и нормали бы не было).

[B@R5uk]

Я тут подумал и посчитал. Если расположить медиану вдоль оси $Oz$, а сам треугольник в плоскости $Oxz$, то радиус-вектора запишутся так:

$$\overrightarrow{{{R}_{1}}}=\frac{{{r}_{1}}\left( -{{r}_{2}}\sin \gamma \overrightarrow{{{e}_{x}}}+\left( {{r}_{1}}+{{r}_{2}}\cos \gamma \right)\overrightarrow{{{e}_{z}}} \right)}{\sqrt{r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+2{{r}_{1}}{{r}_{2}}\cos \gamma }}$$

$$\overrightarrow{{{R}_{2}}}=\frac{{{r}_{2}}\left( {{r}_{1}}\sin \gamma \overrightarrow{{{e}_{x}}}+\left( {{r}_{2}}+{{r}_{1}}\cos \gamma \right)\overrightarrow{{{e}_{z}}} \right)}{\sqrt{r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+2{{r}_{1}}{{r}_{2}}\cos \gamma }}$$

Теперь их можно повернуть на какой-нибудь угол $\alpha$ вокруг оси $Oz$, причём матрицу поворота я знаю. А затем бы наклонить так, чтобы ось $Oz$ (а с ней и медиана) перешла бы в положение, задаваемое сферическими углами $\theta$ и $\varphi$. Вот только какая именно будет матрица перехода? И будет ли такое преобразование в целом покрывать все возможные варианты двух векторов (переменных вроде как и должно быть — шесть)?

[arseniiv]

Это не решит проблему того, что поворот не задаётся до конца старым и новым положением только одного вектора (в данном случае орта оси $z$).

[B@R5uk]

arseniiv в сообщении #1167531 писал(а):

не задаётся до конца

Не понял этого утверждения, если честно.

[arseniiv]

Ну, вы отображаете орт оси $z$ в вектор со сферическими координатами $(1,\varphi,\theta)$. Этого недостаточно, чтобы задать один поворот. Есть много поворотов, делающих такое. А как вы до этого что-нибудь поворачивали вокруг самой оси $z$, здесь никак не сказывается.

[B@R5uk]

arseniiv в сообщении #1168375 писал(а):

Этого недостаточно, чтобы задать один поворот.

Ну, по кратчайшему пути разумеется. То есть поворот вокруг векторного произведения начального и конечного положения орта оси Z. Это направление будет задавать вектор с координатами $(-\sin\varphi,\cos\varphi,0)$

[arseniiv]

B@R5uk в сообщении #1168409 писал(а):

Ну, по кратчайшему пути разумеется.

Не работает, когда угол поворота равен $\pi$.

[B@R5uk]

Да, там разрыв получается, а должна быть непрерывность. Что же делать?

[arseniiv]

Если бы я к этому моменту знал, я бы сразу здесь что-нибудь интересное добавил. А вам обязательно нужны именно такие первые пять координат? Может, окоординатить среднее и разность от amon?

[B@R5uk]

Нужны именно первые пять. Хотя потом надо будет посчитать лапласиан в этих координатах, и, если переменные не разделяются, то всё зря. За то если разделяются, то это будет сила! А вообще, надо бы двухмерный случай сначала потестить. Может что-то понятнее станет.

[Утундрий]

А уравнение, уравнение-то какое?