Морлей vs Ванцель

[hurtsy]

Как известно, теорема Морлея считается одной из красивейших теорем планиметрии, доступной продвинутым школьникам, физ-мат школы, лицеи и математические кружки. Имхо, теорему Морлея можно применять для построения трисекции произвольного угла в классической постановке, линейкой и циркулем. Вот построение при помощи программы GeoGrep..
Углы $A$ и $B$ построены трехкратным клонированием произволных углов.

$$A(\varepsilon,\zeta,\sigma), B(\alpha,\beta,\gamma)$$

. Таким образом, два угла имеют трисектрисы. И есть точка пересечения смежных трисектрис $E$. Построение для остальных вершин производится по современному(школьный математический кружок) изложению доказательства теоремы Морлея (Снова о теореме Морлея. Л.Штейнгарц). В точке $E$ от прямой $j$ часовой стрелке 60 градусов и получаем точку $F'$. Затем от этого направления уже против часовой стрелки откладываем угол $\sigma$ и получаем точку $F''$. Пересечение трисектрисы $g(AB')$ c отрезком EF'' дает точку $G$, вторую вершину треугольника Морлея. Зачем я излагаю так долго не очень оригинальное построение. А потому, что эти построения давно известны, и только страх перед классической теоремой Ванцеля не давал возможности осуществить построение. В заключение приведу построение связанное с группой $C_3$(симметрия связанная с поведением корней кубического уравнения). Используя стандартный инструмент GeoGebra "Поворот вокруг точки", поворачиваем $AB'$ вокруг все той же $E$, получаем образ $A''B'_1$ и получаем ту же самую $G$.

из письма Т.Л. писал(а):

Примите исповедь мою ...

С уважением,

[g______d]

Если это правда, то из этого следует, в конечном итоге, что $1=0$. Оформляйте доказательство как положено, проверьте, что нет ошибок, и посылайте в Annals of Mathematics.

[Someone]

hurtsy, ну чего зря время тратить. Продемонстрируйте деление на три равных части угла в $60^{\circ}$.

[hurtsy]

Ну не $60\circ$, а произвольно близко, не дальше $1\circ$.

С уважением,

[Red_Herring]

hurtsy в сообщении #1166931 писал(а):

теорему Морлея можно применять для построения трисекции произвольного угла в классической постановке, линейкой и циркулем

hurtsy в сообщении #1167007 писал(а):

Ну не $60^\circ$, а произвольно близко, не дальше $1^\circ$.

Так классическая постановка говорит о точной трисекции. Приближенную они и без того умели делать.

[arseniiv]

Кроме того, для приближённой трисекции не надо напрягаться вот так. Достаточно двоичного разложения $1/3$ и соответствующих бисекций. Степень приближения регулируется, опять же, и притом несложным образом.

[hurtsy]

Red_Herring в сообщении #1167024 писал(а):

Так классическая постановка говорит о точной трисекции. Приближенную они и без того умели делать.

Неужели, для вас произвольный значит приближенный? Забываете великий и могучий. Теорема Ванцеля говорит именно о трисекции произвольных углов

arseniiv в сообщении #1167027 писал(а):

Кроме того, для приближённой трисекции не надо напрягаться вот так.

Спасибо,arseniiv, я нигде в посте не употреблял приближенно. Ключевое слово - произвольный и именно оно применено в ответе

hurtsy в сообщении #1167007 писал(а):

Ну не $60^\circ$, а произвольно близко, не дальше $1^\circ$.

. С уважением,

[Someone]

hurtsy в сообщении #1167007 писал(а):

Ну не $60\circ$, а произвольно близко, не дальше $1\circ$.

"Произвольно близко" в данном контексте означает "приближённо, но со сколь угодно малой погрешностью". В классической задаче о трисекции угла требуется точное решение.

[Red_Herring]

hurtsy в сообщении #1167090 писал(а):

Забываете великий и могучий

С больной головы...

[hurtsy]

Someone в сообщении #1167098 писал(а):

"Произвольно близко" в данном контексте означает "приближённо, но со сколь угодно малой погрешностью". В классической задаче о трисекции угла требуется точное решение.

Я не берусь строить углы заданные, даже если их возможно построить в классическом смысле циркулем и линейкой. Почему? GeoGebra всегда вычисляет. Для того чтобы стать цифровым циркулем ей нужна бесконечная разрядность. Поэтому произвольность задается разрядностью компьютера. После того как получена начальная точка для равностороннего треугольника Морлея, все операции возможны циркулем и линейкой. GeoGebra используется только для наглядности. Вот мое понимание контекста. Я уже писал, все что я излагаю является реферированием известных, доступных всем материалов. Не изображайте мой топик заявкой на авторство. Единственно мое, попытка объяснить успех Морлея неявным(симметрии равностороннего треугольника)использованием свойств корней кубического уравнения. Ванцель эти свойства не использовал.

Red_Herring в сообщении #1167104 писал(а):

С больной головы...

Если я Вас обидел, примите мои искренние извинения. Я хотел отметить Ваш приоритет в бифуркации, произвольное - приближенное.
С уважением,

[Someone]

hurtsy в сообщении #1167143 писал(а):

Я не берусь строить углы заданные, даже если их возможно построить в классическом смысле циркулем и линейкой.

А по условию классической задачи в качестве вспомогатльных Вы обязаны использовать только такие углы, которые заведомо можно построить циркулем и линейкой без делений.

[Red_Herring]

Слово "произвольная" относится к триангуляции, и означает только то, что Вы находите приближенное, а не точное решение, в то время как "произвольный" относится к углу. В общем, "низачот".

[hurtsy]

Someone в сообщении #1167154 писал(а):

А по условию классической задачи в качестве вспомогатльных Вы обязаны использовать только такие углы, которые заведомо можно построить циркулем и линейкой без делений.

Исходно заданы точки $A$ и $B$. Строю произвольный угол:

• Задаю точку $C$
• Соединяю(строю отрезок) $CA$
• Построен произвольный угол $BAC$ отрезок $AC$ - трисектриса примычная к $AB$

По произвольности это соответствует построению линейкой без делений, совпадает с классикой. Дальше делается отражение $AB$ от $AC$. Получаем трисектрису $AB'$ парную к $AC$. Очередное отражение $AC$ от $AB'$ дает неправление стороны треугольника противолежащую вершине $B$. Аналогичное построение в точке $B$ дает вторую пару трисектрис, вершину $M$. Дальше построения описанные в стартовом посте. Все это соответствует классике. А вот угол получается произвольный не смотря на ваше милостивое разрешение я не могу обеспечит его равенство $60^\circ$. С уважением,

[Someone]

hurtsy в сообщении #1167182 писал(а):

А вот угол получается произвольный не смотря на ваше милостивое разрешение я не могу обеспечит его равенство $60^\circ$.

Стало быть, задачу решить не можете.

[Red_Herring]

hurtsy в сообщении #1167182 писал(а):

А вот угол получается произвольный не смотря на ваше милостивое разрешение я не могу обеспечит его равенство $60^\circ$

Тогда Вы в упор не понимаете задачи: Вам дают угол $ABC$, заданный точками $A,B,C$. И Вы должны именно этот, а ни какой другой угол разделить на три равные части.