Автоморфизмы конечных полей

[ikozyrev]

Пытаюсь разобраться с сабжем.
Разбираю доказательство того что афтоморфизм Фробениуса $x \to x^p$ порождает группу всех автомофризмов конечного поля $\math \mathbb F_{p^n}$.
Все понятно кроме следующего момента:
"в любом расширении поля $\mathbb {F} _{p} $ неподвижные точки эндоморфизма Фробениуса — это в точности элементы поля $ \mathbb {F} _{p}$"
Интуитивно ясно что это просто, но почему так? У меня какой то затык мозга на этом моменте...

-- 07.11.2016, 15:53 --

ikozyrev в сообщении #1166810 писал(а):

Пытаюсь разобраться с сабжем.
Разбираю доказательство того что афтоморфизм Фробениуса $x \to x^p$ порождает группу всех автомофризмов конечного поля $\math \mathbb F_{p^n}$.
Все понятно кроме следующего момента:
"в любом расширении поля $\mathbb {F} _{p} $ неподвижные точки эндоморфизма Фробениуса — это в точности элементы поля $ \mathbb {F} _{p}$"
Интуитивно ясно что это просто, но почему так? У меня какой то затык мозга на этом моменте...

Пока писал - все понял :)) Просто по малой теореме Ферма...

[VAL]

ikozyrev в сообщении #1166810 писал(а):

Пока писал - все понял :)) Просто по малой теореме Ферма...

Малая теорема Ферма, гарантирует, что элементы $\mathbb Z_p$ неподвижны. А то, что других неподвижных элементов нет, слеует из того, у многочлена степени $p$ над полем, не может быть более $p$ решений.