Детерминизм в физике

[dsge]

Mentat в сообщении #1167013 писал(а):

для хаоса нужна, во первых, нелинейность.

Я в курсе. Речь была про потерю памяти "на траектории".

Mentat в сообщении #1167013 писал(а):

нелинейность. Как правило не ниже 3 степени в диффуре, не ниже 4 в решении.

Не дадите ли определение "степени нелинейности "? Что такое степень в разных контекстах я знаю, а "степени нелинейности" нет.

Mentat в сообщении #1167013 писал(а):

Видимое случайное поведение системы, которое возможно описать математически без привлечения вероятности.

Вы полагаете, что "случайное" можно описать "без привлечения вероятности"? Тогда что такое случайное и что такое теория вероятностей?

[arseniiv]

А мне интересно, почему Mentat отвечает на вопросы, заданные arbuz.

[arbuz]

g______d в сообщении #1166976 писал(а):

Сформулируйте, что означает этот ваш "детерминированный хаос" на математическом языке. Глядишь, и "знакомые с терминологией" найдутся.

Вы можете задать свой вопрос на математическом форуме. Хочется верить, что математики дружно отзовутся. А здесь народ злой. Вот в теме о состоянии мира намедни прозвучала вполне безобидная фраза без математических символов и даже терминов. Так один участник, видимо принявший ее за глубокий матан, назвал ее математикой и потому явным оффтопом. Вы бы сначала с ним разобратись насчет правил ...

warlock66613 в сообщении #1166935 писал(а):

Теорему о существовании и единственности решения задачи Коши для соответствующих уравнений никакой хаос отменить не в силах.

Конечно! Как может какой-то там хаос отменить теорему Коши?

P.S.
Просто хаос намного хуже. Он делает теорему Коши бесполезной и вообще ставит ее в позицию перпендикулярно динамическим системам. Как уже было замечено:

Anton_Peplov в сообщении #1166448 писал(а):

Т.е. поведение системы непредсказуемо.

Это утверждение дается уже в предисловиях многих книг по динамическим системам.
Итак имеем два неоспоримых утверждения:
1. Теорема Коши
2. Система непредсказуема.
Вы можете имея теорему Коши даже не предсказать (что сложнее), а просто показать предсказуемость динамической системы? (Но так, чтобы Anton_Peplov с вами согласился...)

Pphantom в сообщении #1166978 писал(а):

задача об эволюции такой системы - это задача Коши для некоторой системы ОДУ. Какое из условий существования и единственности решения задачи Коши в этом случае не выполняется?

Все выполняются!
Вы ссылаетесь на авторитет Коши... Можно и я сошлюсь на авторитеты? По обе стороны пруда большой популярностью пользуется книга Р. Сагдеева и Г. Заславского "Введение в нелинейную физику. От маятника до турбулентности и хаоса".

Цитата:

книга ... и её последующий перевод на английский язык стали классическими учебниками по физике хаоса для студентов, аспирантов и научных работников всего мира.

Оба автора хоть и теоретики, но мужики очень конкретные, бывшие руководители ИКИ АН, где всякая шелуха не катит. Вот что они пишут в разделе биллиарды (стр. 109)

Цитата:

Существуют модели, которые, с одной стороны допускают получение строгих результатов...
Многократные рассеяния ... приводят, в конце концов, к потере памяти о начальных условиях на траектории...

Я кстати задавал Заславскому вопрос об этой фразе со ссылкой на теорему Коши. Он в то время был в гуще всех международных событий по хаосу, обо всем и обо всех слышал и его высказывания все знали.

Осталось заметить, что отзеркаливание задачи во времени (замена t на -t) формально превращает непредсказуемость в потерю памяти.

[Anton_Peplov]

arbuz в сообщении #1167349 писал(а):

Но так, чтобы Anton_Peplov с вами согласился...

Anton_Peplov не согласится прежде всего на то, чтобы его слова вырывали из контекста и выставляли его союзником какой-то не вполне понятной позиции, не имеющей к нему отношения.

[g______d]

arbuz в сообщении #1167349 писал(а):

Вы можете задать свой вопрос на математическом форуме. Хочется верить, что математики дружно отзовутся. А здесь народ злой.

g______d в сообщении #1166976 писал(а):

Если не сможете, то из этого можно будет сделать только один вывод -- что вы нахватали слов из популярных книжек.

[arbuz]

Anton_Peplov в сообщении #1167351 писал(а):

... его слова вырывали из контекста...

Контекст опущен для краткости и это ничего не меняет. Восстанавливаем контекст. Динамическая система... режим хаоса проявился... берем достаточно большой интервал времени... и далее "Т.е. поведение системы непредсказуемо."

P.S.
Но если вы скромничаете, заменяем вас например на Шустера "Детерминированный Хаос", где говорится примерно то же самое.

[Pphantom]

arbuz в сообщении #1167349 писал(а):

Все выполняются!

Замечательно. В таком случае заданный набор начальных условий (вместе с самой системой ОДУ) однозначно определяют состояние системы в любой момент времени.

Проблема в том, что Вы упорно не видите разницу между принципиальной возможностью (которая есть) и практической реализуемостью (коей, естественно, нет). Это мы в теории можем задать набор начальных условий с любой желаемой степенью точности. На практике же это можно сделать только с некоторой погрешностью, и если расстояние между решениями, соответствующими близким начальным условиям, растет со временем, получается тот самый хаотический режим, по поводу которого тут ломаются копья. Да, на практике это означает, что на временах порядка ляпуновского погрешности в начальных условиях приводят к невозможности предсказания состояния системы, но это следствие неточных начальных условий, а не принципиально неустранимое свойство модели. И, собственно, в приведенной Вами цитате из Сагдеева и Заславского именно это и говорится.

А вообще в этой самой книжке все это как раз и изложено, хотя и достаточно конспективно. Посмотрите второй параграф главы 4 (это предыдущий перед тем, из которого Вы взяли цитату).

[arbuz]

Pphantom в сообщении #1167361 писал(а):

Это мы в теории можем задать набор начальных условий с любой желаемой степенью точности.

Допустим, что вы в теории задаете набор начальных условий с точностью $10^{-N}$, где N - большое число на ваш выбор. Как только вы это сделали, сразу возникает достаточно малый интервал времени на котором система предсказуема, и достаточно большой интервал времени на котором система не предсказуема. Затем вы берете еще большее число N, ваш интервал предсказуемости увеличивается. Но какое бы большое число вы не взяли, всегда найдется такой достаточно большой интервал времени (кстати, он не такой уж и большой, порядка логарифма от N), на котором система не предсказуема.

Дело в том, что фраза "... всегда найдется такой достаточно большой интервал времени... " идет ПОСЛЕ выбора вами любой желаемой точности. И какую бы точность вы ни выбрали, на нее всегда найдется свой интервал времени с непредсказуемостью.

На практике примерно то же самое, но просто с выбором более высокой точности когда-то надо остановиться. В теории остановки нет, можно неограниченно повышать N, но это ничего не дает, потому что выбор интервала времени идет следующим шагом.

Вы конечно можете переставить порядок действий - сначала выбор интервала времени на котором вы хотите получить предсказуемость, потом определение требуемой для этого точности НУ. Но только это будет уже совсем другая постановка вопроса (не та, что в стандартных формулировках в книгах и статьях). Но и это ничего не дает. За пределами выбранного вами интервала времени опять будет непредсказуемость.

А вот если бы задача ставилась на ограниченном интервале времени, то у вас все легко получилось бы.

P.S.
Кстати, точность задания НУ, в которую все упираются, можно вообще "вынести за скобки". Берем аттрактор Лоренца и НУ {3,4,5}, где числа имеют тип integer, а не real. Точность задания этих чисел абсолютная, выше не бывает. Ну и где тут предсказуемость на достаточно большом интервале времени?

[g______d]

arbuz в сообщении #1167370 писал(а):

не та, что в стандартных формулировках в книгах и статьях

Так а что такое "та"? Теория хаоса -- это раздел теории динамических систем, которая в свою очередь является разделом математики. Если вы считаете, что можно обойтись словесными формулировками, то вы очень наивны.

arbuz в сообщении #1167370 писал(а):

Дело в том, что фраза "... всегда найдется такой достаточно большой интервал времени... " идет ПОСЛЕ выбора вами любой желаемой точности. И какую бы точность вы ни выбрали, на нее всегда найдется свой интервал времени с непредсказуемостью.

Это верно даже для уравнения $x'=x$, в котором никакого хаоса нет.

[arbuz]

g______d в сообщении #1167373 писал(а):

Так а что такое "та"?

Это уже было сказано. Сначала выбор точности НУ, потом выбор достаточно большого интервала времени, а не наоборот.

-- 08.11.2016, 22:32 --

g______d в сообщении #1167373 писал(а):

Это верно даже для уравнения $x'=x$, в котором никакого хаоса нет.

Вы перепутали неточность и непредсказуемость. В рассматриваемых системах имеется небольшой по объему аттрактор и поэтому неточность превращается в кошмар. А в вашем примере неточность остается неточностью, все дела. Грубо говоря неточность в 1% в НУ остается неточностью в 1% в конечном положении точки (хотя абсолютная погрешность может стать о-го-го)

[Dmitriy40]

arbuz
А Вы похоже путаете точность формул и точность вычислений по этим формулам. И практическую ограниченность вторых проецируете на первые.

[arseniiv]

arbuz в сообщении #1167370 писал(а):

В теории остановки нет, можно неограниченно повышать N

Вы так говорите, как будто в теории нельзя взять начальные условия сразу точные.

arbuz в сообщении #1167370 писал(а):

где числа имеют тип integer, а не real

В следующий раз попробуйте не путать языки программирования и математику.

arbuz в сообщении #1167370 писал(а):

Точность задания этих чисел абсолютная, выше не бывает. Ну и где тут предсказуемость на достаточно большом интервале времени?

А что, её в таком случае нет?

[arbuz]

Dmitriy40 в сообщении #1167379 писал(а):

arbuz
А Вы похоже путаете точность формул и точность вычислений по этим формулам. И практическую ограниченность вторых проецируете на первые.

Я делаю все возможное чтобы не путать и не проецировать. Но если ошибка возникла, укажите где именно. А вообще корректные формулировки и доказательства могут занимать многие страницы в простейших казалось бы ситуациях, если дело доходит до таких фундаментальных основ как числа. А потом еще требуется несколько месяцев чтобы нашелся энтузиаст, который все проверит.

[arseniiv]

Да-да, давайте уходить в сторону. Может быть, пройдём кругом и вернёмся к теме с другой, правильной стороны.

[arbuz]

arseniiv в сообщении #1167380 писал(а):

В следующий раз попробуйте не путать языки программирования и математику.

Где же вы путаницу увидели? Термины integer, real используются как в математике, так и в языках программирования. Если же у кого-то эти термины прочно ассоциируются только с языками программирования, то он по английски ничего не читал по специальности.

arseniiv в сообщении #1167387 писал(а):

Может быть, пройдём кругом и вернёмся к теме с другой, правильной стороны.

Давно пора. Итак, все сугубо математические вопросы вырезаем и вклеиваем в форум математиков.
Остается тезис о "забывчивости" системы и цитата на эту же тему из Сагдеева и Заславского.
Какие будут возражения против цитаты из Сагдеева и Заславского?