Пескин и Шредер: теория Юкавы и свёртки

[Ascold]

Правильно ли я понимаю, что если из 2 фермионов образуются 2 фермиона, то в (4.114) с учётом обозначений выше $|0>$ - основное состояние свободного фермионного поля и, следовательно, операторы рождения/уничтожения скалярного поля $\phi$ на него не действуют?

[Munin]

Я так понимаю, $|0\rangle$ - это основное состояние поля вообще, то есть 0 всех частиц, и фермионов, и бозонов. Так что, операторы рождения скалярного поля $\phi$ на него должны действовать. А операторы уничтожения - как всегда, как на вакуум.

[amon]

Совсем Вы неправильно все понимаете. Вакуум "общий" для всех операторов поля, входящих в (4.112). Если что, последнее равенство в (4.114) получается коммутированием операторов: $a_{p'}^{s'}{a_p^s}^+=-{a_p^s}^+a_{p'}^{s'}+\delta_{ss'}\delta(p-p')$. Первый член при применении к вакууму даст ноль, а второй выдаст то, что написано.

[Ascold]

Цитата:

Если что, последнее равенство в (4.114) получается коммутированием операторов: $a_{p'}^{s'}{a_p^s}^+=-{a_p^s}^+a_{p'}^{s'}+\delta_{ss'}\delta(p-p')$.

Да, это ясно, там ещё множитель два пи в кубе есть - так авторы определили полевые антикоммутаторы.

Цитата:

Я так понимаю, $|0\rangle$ - это основное состояние поля вообще, то есть 0 всех частиц, и фермионов, и бозонов.

А вот это непонятно, я в замешательстве. Мне кажется так: есть конкретное поле - например, скалярное и его вакуум - состояние с наинизшей энергией, на которое определено действие соотв. повышающего и понижающего операторов. Есть спинорное поле с его операторами и его вакуумом. Если под общим вакуумом понимать состояние наинизшей суммарной энергии скалярного+спинорного полей, то получается, что чтобы обратить его в нуль, надо подействовать на него как спинорным, так и скалярным операторами уничтожения, если подействовать лишь скалярным или спинорным, то нуля не будет?

$$a_p^sc_p|0>=0, $$

$$c_p|0>\neq0, a_p^s|0>\neq0.$$

Это мне так видится. Пескин и Шредер, судя по результатам их вычислений, рассуждают как Munin и amon.
Почему же всё-таки существует общий вакуум, такой что

$$c_p|0>=0, a_p^s|0>=0,$$

ведь само его понятие вводилось всякий раз для конкретного поля?

[warlock66613]

Ascold в сообщении #1166536 писал(а):

ведь само его понятие вводилось всякий раз для конкретного поля?

А ничего, что в спинорном случае полей, в некотором роде, четыре штуки, а вакуумное состояние вводилось там одно на всех?
В данном случае всё то же самое, только теперь у нас поле с пятью компонентами, из которых одна компонента преобразуется как скаляр, а другие четыре — как спинор. (Можно сказать, что у нас пять скалярных полей с дополнительными связями между ними, а можно сказать, что два поля — скалярное и спинорное, а можно, что поле одно — пятикомонентное скалярно-спинорное — это всё одно и то же.)
Так что $|0\rangle$ — это просто вакуум этого единственного пятикомпонентного поля нашей теории, так же как в случае спинорного поля $|0\rangle$ — это вакуум четырёхкомпонентного поля.

[Munin]

Ascold в сообщении #1166536 писал(а):

Мне кажется так: есть конкретное поле - например, скалярное и его вакуум - состояние с наинизшей энергией, на которое определено действие соотв. повышающего и понижающего операторов. Есть спинорное поле с его операторами и его вакуумом.

Есть система с несколькими степенями свободы. Она образуется как тензорное произведение подсистем. Вы сначала берёте конкретное скалярное поле, конкретное спинорное поле, а потом объединяете их, и получается общее поле. На него действуют операторы рождения и уничтожения, двух комплектов: одни занимаются первым подполем (например, бозонами), а другие - вторым (в вашем примере фермионами).

[amon]

Ascold в сообщении #1166536 писал(а):

А вот это непонятно, я в замешательстве.

А давайте разбираться на примере осцилляторов (это тоже самое, только проще). Есть у нас два независимых осциллятора. Координаты одного - $x$, а другого - $y$. Гамильтониан системы - $H=\frac{p_x^2}{2}+\omega^2\frac{x^2}{2}+\frac{p_y^2}{2}+\omega^2\frac{y^2}{2}$. Волновая функция основного состояния (осцилляторный вакуум без кавычек) будет $\Psi(x,y)=\Psi_0(x)\Psi_0(y)=\frac{1}{2\pi}\exp(-\frac{x^2}{2})\exp(-\frac{y^2}{2})$. Если перейти к операторам рождения -уничтожения, то будет, естественно, все тоже самое, и вакуум будет $|0\rangle=|0\rangle_x|0\rangle_y$. Набор собственных функций двух независимых осцилляторов полный, поэтому по нему можно разложить и собственные функции для пары взаимодействующих осцилляторов, для которых факторизация отсутствует $\Psi(x,y)\ne\Psi_0(x)\Psi_0(y)$. Это, собственно, и делается, когда строятся диаграммные разложения в теории поля.

[Ascold]

Благодарю, теперь ясно. Но есть ещё пара вопросов про свёртки операторов с начальным и конечным состояниями, хотя бы в случае скалярного поля.
1)Я вычислил часть S-матрицы, соответствующую второму выражению из (4.95), получилось

$$D_F(x-x)[\delta(p_A-p_1)\delta(p_B-p_2)+\delta(p_B-p_2)\delta(p_A-p_1)+\delta(p_A-p_2)\delta(p_B-p_1)+\delta(p_B-p_1)\delta(p_A-p_2)].$$

Чтобы получить соотв. диаграмму, что в книге между формулами (4.97) и (4.98), мне следует раскрыть скобки, приставив пропагатор к каждому из первых множителей и всё ОК. Но напрашивается вообще-то другое - собрать одинаковые слагаемые, будет

$$2D_F(x-x)[\delta(p_A-p_1)\delta(p_B-p_2)+\delta(p_A-p_2)\delta(p_B-p_1)],$$

и останутся лишь первая и третья диаграммы, почему же Пескин и Шредер так не делают? Всё-таки, важно ли, к какому множителю адресовать петельку $D_F(x-x)$ или нет?
2)В фермионном случае авторы советуют для (4.115) "сворачивать" в смысле (4.114) операторы $\psi$ или $\bar\psi$ с одним из начальных или конечных состояний $|p_Ap_B>$ или $<p_1p_2|$. Почему нельзя "свернуть" какое-нибудь $\psi$ одновременно с начальным и конечным состоянием, ведь после нормального упорядочивания всегда можно, коммутируя, перетащить $a_p^s$ в крайнюю правую позицию, а $b^+_p^s$ от этого же поля - в крайнюю левую?

[Munin]

$\TeX$ническое замечание: \langle, \rangle.

[Ascold]

я, кстати, протормозил по второму вопросу - нельзя свернуть поле $\psi$ как с начальным, так и с конечным состоянием, поскольку состояния эти в (4.115) - фермионные, ${a,b^+}=0$, поэтому слагаемое $vb^+e^{ipx}$ свободно проносится влево к $\langle p_Ap_B|$ и зануляет его. Первый же вопрос остаётся неясным.