Равномерная сходимость ряда

[citadeldimon]

Всем привет!

Сломал голову, не могу никак показать что ряд

$$ \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n e^{-nx}}{n^2+1} $$

сходится равномерно на $x>0$. На $x\ge a>0$ проще простого!)

Буду благодарен за любую помощь!)

[Lia]

А он и не сходится равномерно.

[citadeldimon]

Lia в сообщении #1166230 писал(а):

А он и не сходится равномерно.

а как тогда показать что сумма ряда

$$ \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{e^{-nx}}{n^2+1} $$

дифференцируема при $x>0$?

[Lia]

Это уже другой ряд, не?
А, поняла. Вам нужна сходимость ряда из производных.
Ну отгородитесь от нуля, как Вы это и делали. Дифференцируемость - локальное свойство, достаточно доказать ее в каждой точке промежутка. Необязательно на всем сразу.

[citadeldimon]

Lia в сообщении #1166232 писал(а):

Это уже другой ряд, не?

Это исходный ряд, он сходится равномерно, значит сумма непрерывна на $x\ge0,$ но надо еще показать что сумма дифференцируема. Беру тогда ряд из производных и надо показать что он сходится равномерно. Как раз первый ряд.

[Lia]

См. выше.

[citadeldimon]

Lia в сообщении #1166234 писал(а):

См. выше.

значит в задании ошибка(( спасибо!

[Lia]

В задании нет ошибки. Значит, Вы меня не поняли.

-- 05.11.2016, 16:10 --

Когда функция будет (по определению) дифференцируема на $x>0$?

[citadeldimon]

Lia в сообщении #1166237 писал(а):

В задании нет ошибки. Значит, Вы меня не поняли.

Не заметил что редактировали сообщение. Спасибо, все очень просто оказалось. Я даже не думал в таком направлении))

Вопрос снят, тему можно закрыть!)

[Lia]

Ok.