2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 интеграл специального вида
Сообщение06.01.2008, 12:03 
Добрый день! В ходе выполнения курсовой работы, частью которой было вычисление спектральной плотности модулированного сигнала, я столкнулся с вычислением определенного интеграла. Проделав определенные действия я получил табличный интеграл и не могу его нигде найти. Подскажите, пожалуйста, чему он равен:
$$\int\limits_{0}^{\infty}\frac{\cos(wt)}{1+{\alpha}t^2}}dt$$

 
 
 
 
Сообщение06.01.2008, 12:51 
Интеграл не табличный. Он вычисляется способом, указанным в этой теме.
Universal писал(а):
Подскажите, пожалуйста, чему он равен:

Если $\alpha>0$, то он равен $$\frac{\pi}{2\sqrt{\alpha}}e^{-w/\sqrt{\alpha}}$$.

 
 
 
 
Сообщение06.01.2008, 12:57 
Gordmit, спасибо!

 
 
 
 
Сообщение06.01.2008, 13:07 
Аватара пользователя
Кстати, этот интеграл называется интегралом Лапласа :idea:

 
 
 
 
Сообщение06.01.2008, 13:38 
И еще хотелось бы уточнить, такой же интеграл от синуса будет равен нулю?

 
 
 
 
Сообщение06.01.2008, 14:35 
Аватара пользователя
Нет. Например,
$$\int\limits_0^{+\infty}\frac{\sin t}{1+t^2}dt\approx 0.646761\text{.}$$

 
 
 
 
Сообщение06.01.2008, 14:49 
Странно, я думал что $$\int\limits_{0}^{\infty}\frac{\sin(wt)}{1+{\alpha}t^2}}dt = 0$$, т.к. мнимая часть отсутствует. Но раз это не так, подскажите, пожалуйста, чему будет равен этот интеграл?

 
 
 
 
Сообщение06.01.2008, 16:18 
Аватара пользователя
Universal писал(а):
Странно, я думал что $$\int\limits_{0}^{\infty}\frac{\sin(wt)}{1+{\alpha}t^2}}dt = 0$$, т.к. мнимая часть отсутствует.


Может быть, у Вас на самом деле $\int_{-\infty}^{+\infty}\ldots$?

Universal писал(а):
Но раз это не так, подскажите, пожалуйста, чему будет равен этот интеграл?


$$\int\limits_0^{+\infty}\frac{\sin wt}{1+\alpha t^2}}dt=\frac 12\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}sign(w)MeijerG\left(\{\{\frac 12\},\{\}\},\{\{\frac 12,\frac 12\},\{0\}\},\frac{w^2}{4\alpha}\right)$$

 
 
 
 
Сообщение06.01.2008, 16:24 
Точно, извините, я ошибся. Сигнал начинается не с нуля, а с минус бесконечности, соответственно оба интеграла от -\infty до \infty. Тогда соответственно интеграл с \cos умножается на 2, а с \sin будет равен 0?

 
 
 
 
Сообщение06.01.2008, 17:52 
Universal писал(а):
Точно, извините, я ошибся. Сигнал начинается не с нуля, а с минус бесконечности, соответственно оба интеграла от -\infty до \infty. Тогда соответственно интеграл с \cos умножается на 2, а с \sin будет равен 0?
Да.

 
 
 
 
Сообщение06.01.2008, 17:54 
Большое спасибо всем за помощь :!:

 
 
 [ Сообщений: 11 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group