интеграл специального вида

[Universal]

Добрый день! В ходе выполнения курсовой работы, частью которой было вычисление спектральной плотности модулированного сигнала, я столкнулся с вычислением определенного интеграла. Проделав определенные действия я получил табличный интеграл и не могу его нигде найти. Подскажите, пожалуйста, чему он равен:

$$\int\limits_{0}^{\infty}\frac{\cos(wt)}{1+{\alpha}t^2}}dt$$

[Gordmit]

Интеграл не табличный. Он вычисляется способом, указанным в этой теме.

Universal писал(а):

Подскажите, пожалуйста, чему он равен:

Если $\alpha>0$, то он равен

$$\frac{\pi}{2\sqrt{\alpha}}e^{-w/\sqrt{\alpha}}$$

.

[Universal]

Gordmit, спасибо!

[Lion]

Кстати, этот интеграл называется интегралом Лапласа

[Universal]

И еще хотелось бы уточнить, такой же интеграл от синуса будет равен нулю?

[Someone]

Нет. Например,

$$\int\limits_0^{+\infty}\frac{\sin t}{1+t^2}dt\approx 0.646761\text{.}$$

[Universal]

Странно, я думал что

$$\int\limits_{0}^{\infty}\frac{\sin(wt)}{1+{\alpha}t^2}}dt = 0$$

, т.к. мнимая часть отсутствует. Но раз это не так, подскажите, пожалуйста, чему будет равен этот интеграл?

[Someone]

Universal писал(а):

Странно, я думал что

$$\int\limits_{0}^{\infty}\frac{\sin(wt)}{1+{\alpha}t^2}}dt = 0$$

, т.к. мнимая часть отсутствует.

Может быть, у Вас на самом деле $\int_{-\infty}^{+\infty}\ldots$?

Universal писал(а):

Но раз это не так, подскажите, пожалуйста, чему будет равен этот интеграл?

$$\int\limits_0^{+\infty}\frac{\sin wt}{1+\alpha t^2}}dt=\frac 12\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}sign(w)MeijerG\left(\{\{\frac 12\},\{\}\},\{\{\frac 12,\frac 12\},\{0\}\},\frac{w^2}{4\alpha}\right)$$

[Universal]

Точно, извините, я ошибся. Сигнал начинается не с нуля, а с минус бесконечности, соответственно оба интеграла от -\infty до \infty. Тогда соответственно интеграл с \cos умножается на 2, а с \sin будет равен 0?

[Gordmit]

Universal писал(а):

Точно, извините, я ошибся. Сигнал начинается не с нуля, а с минус бесконечности, соответственно оба интеграла от -\infty до \infty. Тогда соответственно интеграл с \cos умножается на 2, а с \sin будет равен 0?

Да.

[Universal]

Большое спасибо всем за помощь