Привести к каноническому виду уравнение с част. производными

[Skyfall]

Привести уравнение к каноническому виду
$u_{xx}+4u_{yy}+u_{zz}+4u_{xy}+2u_{xz}+4u_{yz}+2u=0$
Мои попытки:
Составим и приведем к каноническому виду квадратичную форму:
$Q(t)=t_{1}^{2}+4t_{2}^{2}+t_{3}^{2}+4t_{1}t_{2}+2t_{1}t_{3}+4t_{2}t_{3}=(t_{1}+2t_{2}+t_{3})^2=\tau _{1}^{2}$
Матрица аффинного преобразования:
$M = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} $
$\det M = 0 \Rightarrow $ вырожденное преобразование и в данном случае, как говорил мой преподаватель, нужно добавлять переменные.
Но я не спросил как...

В общем, по идее, если бы преобразование было невырожденным, то дальше все просто: находим сопряженную к $ M $ матрицу и построчно выписываем замену переменных, считаем производные, готово.

Но что делать в данном случае?

[Brukvalub]

Skyfall в сообщении #1165873 писал(а):

Составим и приведем к каноническому виду квадратичную форму:
$Q(t)=t_{1}^{2}+4t_{2}^{2}+t_{3}^{2}+4t_{1}t_{2}+2t_{1}t_{3}+4t_{2}t_{3}=(t_{1}+2t_{2}+t_{3})^2=\tau _{1}^{2}$
Матрица аффинного преобразования:

$$M = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} $$

Ума не приложу, какое аффинное преобразование породило эту матрицу?

[Skyfall]

Brukvalub
упс, я еще раньше ошибся.
Получается,
$ \tau _{1} = t_{1}+2t_{2}+t_{3} \\ \tau _{2} = ??? \\ \tau _{3} = ???$
Но я не понимаю, что подставить вместо $\tau _{2}, \tau _{3} $

Когда мы запишем такую систему и решим ее относительно $t_{1}, t_{2}, t_{3}$, то матрица коэффициентов и будет той самой матрицей $ M $.

[Brukvalub]

Например,
$\tau _{1} = t_{1}+2t_{2}+t_{3} \\ \tau _{2} = t_{2} \\ \tau _{3} = t_{3}$

[Skyfall]

Brukvalub

(Оффтоп)

спасибо, не уходите, я решаю дальше, вдруг не получится :-)

-- 03.11.2016, 23:54 --

Brukvalub
Значит, имеем:
$M = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
$ M^{*} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix} $
Замена переменных:
$ \left\{\begin{matrix} \xi = & x \\ \eta = & -2x &+&y \\ \psi = & x & +&z \end{matrix}\right. $

Все верно? С такой заменой уравнение гарантированно приведется к канонической форме?

[Brukvalub]

Я написАл вам, как привести квадратичную форму к каноническому виду. Далее см. алгоритм на стр. 6 здесь.

[Skyfall]

Brukvalub
Понял. Спасибо Вам за помощь, применил алгоритм, изложенный в статье, все получилось.

Странно, но в том курсе, что нам читают, дают другой подход Пример решения с использованием сопряженной матрицы.

Может, Вы (ну или кто-то другой) могли бы пояснить, в чем разница? Или, по сути, это одно и то же?

[Brukvalub]

Да, это одинаковые алгоритмы. Удивительно то, что операцию транспонирования матрицы в вашем курсе называют операцией сопряжения, обычно термин "сопряжение" относят к операторам.