Количество подпространств в векторном пространстве

[ikozyrev]

Решаю задачку из Кострикина (том 2 стр 32): сколько k-мерных подпространств содержится в n-мерном векторном пространстве над полем из q элементов?

В случае k=1 рассуждаю так:
Векторное пространство размерности n изоморфно полю $\mathbb{F}_q^n$ а в этом поле $\math q^n$ элементов. Через любые две точки этого пространства можно провести прямую, которая и будет там одномерным подпространством. Стало быть таких прямых $\math q^n(q^n-1)/2$ но каждая такая прямая проходит через q точек поэтому чтобы взять только несовпадающие прямые мы должны поделить общее число прямых на $\math q(q-1)/2$ то есть ответ: $\math q^{n-1}(q^n-1)/(q-1)$. Правильно ли я рассуждаю?

[Someone]

ikozyrev в сообщении #1165297 писал(а):

Через любые две точки этого пространства можно провести прямую, которая и будет там одномерным подпространством.

Далеко не каждая прямая в линейном пространстве является линейным подпространством.

[Brukvalub]

Было.

[ikozyrev]

Someone в сообщении #1165299 писал(а):

ikozyrev в сообщении #1165297 писал(а):

Через любые две точки этого пространства можно провести прямую, которая и будет там одномерным подпространством.

Далеко не каждая прямая в линейном пространстве является линейным подпространством.

Можно привести пример? Я что то не понимаю почему так.

[Someone]

Определения линейного пространства и линейного подпространства вспомните. Там какой-то список аксиом, которые чего-то требуют…

[ikozyrev]

Someone в сообщении #1165304 писал(а):

Определения линейного пространства и линейного подпространства вспомните. Там какой-то список аксиом, которые чего-то требуют…

А ну да, такая прямая должна через 0 проходить по крайней мере

-- 02.11.2016, 10:53 --

Brukvalub в сообщении #1165301 писал(а):

Было.

Но там рассматриваются базисы определенного вида

-- 02.11.2016, 11:10 --

Someone в сообщении #1165304 писал(а):

Определения линейного пространства и линейного подпространства вспомните. Там какой-то список аксиом, которые чего-то требуют…

А все, понял, с учетом вашего замечания получается $\math (q^{n}-1)/(q-1)$

[Brukvalub]

ikozyrev в сообщении #1165306 писал(а):

Но там рассматриваются базисы определенного вида

Но это может помочь решить и вашу задачу.

[ikozyrev]

Итак, получаем следующее:

Для случая k - мерных пространств получаем что первым шагом строим 1-мерные пространства (прямые проходящие через точку 0), которых получается $\math (q^n-1)/(q-1)$ потом для каждого из них выбираем вторые вектора которых может быть $q^n-q$ (потому что он не может заканчиваться в точке на первой прямой). Таким образом мы получаем двумерные пространства натянутые на эти пары векторов и их получается $\math (q^n-1)(q^n-q)/(q-1)$ каждое из них содержит $q^2-1$ ненулевых точек, поэтому разных двумерных пространств получаем $\math (q^n-1)(q^n-q)/((q-1)(q^2-1))$. Рассуждая по индукции, получаем итоговую формулу:
$\frac{\prod\limit_{i=1}^{k}(q^n-q^{(i-1)})}{\prod\limit_{i=1}^{k}(q^k-q^{(i-1)})}$

Все хорошо, но нельзя ли это рассуждение как-то упростить?

[Slow]

Это тоже было:
http://dxdy.ru/topic105938.html