"Аксиальный вектор псевдовектор, дуальный антисимметричному

[lulusa]

Добрый день.
Не могу понять следующее выражение из учебника по теории поля (Ландау, Лифшиц, 1988 стр36):
"Аксиальный вектор является псевдовектором, дуальным антисимметричному тензору. Так, если $C = [AB]$, то
$\[C_{\alpha} = \frac{1}{2}e_{\alpha \beta \gamma}C_{\beta \gamma}, \text{ где } C_{\beta \gamma} = A_{\beta}B_{\gamma} - A_{\gamma}B_{\beta}.\] $

Вообще ничего непонятно. Какому именно антисимметричному тензору дуален аксиальный вектор? Почему? Где в формулах это отражено и почему так.

ps: В принципе до этой фразы все более-менее ясно (что такое антисимметричный тензор, единичный антисимметричный ранга 4, дуальность). Но вот здесь ступор

[arseniiv]

lulusa в сообщении #1165261 писал(а):

Какому именно антисимметричному тензору дуален аксиальный вектор?

$C_{\beta\gamma$.

lulusa в сообщении #1165261 писал(а):

Почему?

Потому что, собственно, $C_\alpha = \frac12\varepsilon_{\alpha\beta\gamma} C_{\beta\gamma}$ (тут точно с индексами и в оригинале так?).

А что ЛЛ пишут про смысл слова «дуальный»; почему оно не состыковалось с этим примером?

-- Ср ноя 02, 2016 03:48:04 --

Кстати, $C_{\beta\gamma}$ (иногда $\frac12 C_{\beta\gamma}$, зависит от авторов) — это внешнее произведение $A$ и $B$, $A\wedge B$, антисимметризованное $A\otimes B$. Впрочем, последнее вы и сами видите.

[Munin]

lulusa в сообщении #1165261 писал(а):

Почему?

Суть здесь такая:

ЛЛ рассчитывают, что читатель уже знает формулы векторной алгебры для 3-мерного пространства. Читатель знает, что такое аксиальный вектор (псевдовектор), и знает, что при векторном произведении получается не вектор (полярный вектор), а аксиальный вектор.

Дальше ЛЛ просто показывают, как те же самые факты выглядят на языке тензорного исчисления и индексной нотации. Понятно, что при помощи операций внешнего и внутреннего произведения нельзя сделать векторное произведение. Самое лучшее, что можно сделать, - это объект $C_{\beta\gamma}=A_\beta B_\gamma-A_\gamma B_\beta.$ У него в компонентах есть что-то похожее на то, что нужно. Геометрически он обладает нужными симметриями. Но всё-таки не то! И вот оказывается, что если взять дуальный к этому тензору, то есть $C^*,$ то получается как раз то, что надо.

arseniiv в сообщении #1165266 писал(а):

тут точно с индексами и в оригинале так?

Точно, потому что это трёхмерка.

[Ascold]

Мне кажется очевидным так: раз $C=[A,B]$, то в компонентах будет

$$C_\alpha=e_{\alpha\beta\gamma} A_\beta B_\gamma =(1/2)(e_{\alpha\beta\gamma}A_\beta B_\gamma +e_{\alpha\beta\gamma}A_\beta B_\gamma) =(1/2)(e_{\alpha\beta\gamma}A_\beta B_\gamma +e_{\alpha\gamma\beta}A_\gamma B_\beta) =$$

$$=(1/2)(e_{\alpha\beta\gamma}A_\beta B_\gamma -e_{\alpha\beta\gamma} A_\gamma B_\beta) =(1/2)e_{\alpha\beta\gamma}(A_\beta B_\gamma - A_\gamma B_\beta).$$

Или можно иначе. Раз псевдовектор, с одной стороны - векторное произведение, а с другой - дуален антисимметричному тензору $C_{\mu\nu}$ (см., например, Коренев, тензорное исчисление, формулы 2.4-2.6), то

$$e_{\alpha\beta\gamma} A_\beta B_\gamma=(1/2)e_{\alpha\mu\nu} C_{\mu\nu}.$$

Далее сверните обе части равенства с $e_{\alpha\mu\nu}$ и получите вид искомого антисимметричного тензора.

[Munin]

Я ещё проще делал: выписывал все компоненты и перемножал их... тем более что их там всего девять штук, и только в эпсилоне двадцать семь... зато простых.

[Metford]

Когда я читал это место в первый раз, то остался в некотором недоумении: зачем это нужно, что это вообще? Тем более, что нигде в дальнейшем это особенно не используется. В конечном счёте - спустя значительное время - у меня сложилось впечатление, что пока не вводится оператор Ходжа, как положено, это соответствие между псевдовекторами и антисимметрическими тензорами второго ранга остаётся довольно-таки надуманным и кажется неестественным. Конечно, может быть, это только моё впечатление...

[Munin]

По сути, да. Но Ландау оно нужно сразу, чтобы поговорить про площадки интегрирования, и сопряжённые к ним.

[Cos(x-pi/2)]

Cоответствие между псевдовекторами и антисимметричными тензорами второго ранга бывает весьма полезным в задачах ФТТ об анизотропных средах. Пример задачки, схематичный:

Пусть $C_3$ - кристаллический класс (группа точечной симметрии) некоего кристалла; и пусть известно, что в этом кристалле создан градиент температуры $\nabla T$ в направлении, перпендикулярном оси симметрии. Требуется определить возможные направления электрического поля термоэдс $\vec{E};$ и выяснить, как изменится ответ для случая среды с симметрией $C_{3v}.$

Решение "в уме". Вектор $\vec{E}$ рассмотрим как линейный отклик на $\nabla T,$ т.е. $E_i=S_{ik}\nabla_k T,$ где $S_{ik}$ - тензор коэффициентов термоэдс. Как всякий тензор второго ранга, он разбивается на симметричную и антисимметричную части: $S_{ik}=S_{ik}^s+S_{ik}^a.$

Тогда на воображаемом чертеже с декартовыми координатами $x_1, x_2, x_3$ симметричной части будет соответствовать поверхность второго порядка $S_{ik}^s x_i x_k=\operatorname{const},$ а антисимметричной части - некоторый псевдовектор $\vec{C}.$

И поверхность и вектор $\vec{C}$ должны быть инвариантными к преобразованиям симметрии (ибо инвариантен сам тензор $S_{ik},$ "по принципу Неймана"), т.е. оба геометрических объекта должны быть инвариантными к поворотам на угол $120^{\circ}$ вокруг оси симметрии $C_3$ кристалла.

Отсюда ясно, что упоминаемая поверхность второго порядка является поверхностью вращения, и направление оси её вращательной симметрии совпадает с направлением оси симметрии $C_3$ кристалла. Вектор $\vec{C}$, если он не равен нулю, должен быть параллельным этому направлению; ничто здесь не запрещает вектору $\vec{C}$ быть не равным нулю.

В свою очередь, отсюда следует, что (поскольку $S_{ik}^s x_k$ задаёт направление нормали к упоминаемой поверхности) при условиях задачки вклад в $\vec{E}$ от симметричной части тензора термоэдс параллелен вектору $\nabla T,$ с точностью до знака. А вклад в $\vec{E}$ от антисимметричной части тензора тероэдс перпендикулярен к $\nabla T$ и лежит в плоскости, перпендикулярной оси симметрии кристалла, поскольку этот вклад есть векторное произведение $\vec{C}$ и $\nabla T.$

Значит, для случая с симетрией $C_3$ ответ при условиях задачки таков: вектор $\vec{E}$, как и вектор $\nabla T,$ лежит в плоскости, перпендикулярной оси симметрии $C_3,$ но он не параллелен вектору $\nabla T.$

В среде с симметрией $C_{3v}$ добавляется новое условие: требование инвариантности $S_{ik}$ к отражению в плоскости, содержащей ось симметрии $C_3.$ Рассмотренная выше поверхность вращения уже удовлетворяет этому условию. А ненулевой вектор $\vec{C},$ поскольку он параллелен плоскости отражения, новому условию удовлетворял бы, если бы был истинным (полярным) вектором; но он - псевдовектор и поэтому меняет знак при указанном отражении. Чтобы быть инвариантным, такой псевдовектор должен равняться нулю: $\vec{C}=0,$ так что и $S_{ik}^a=0.$

Значит, для случая $C_{3v}$ ответ при условиях задачки таков: вектор $\vec{E}$ с точностью до знака параллелен вектору $\nabla T.$ (Знак определяется знаком двух равных собственных значений тензора $S_{ik};$ этот тензор в данном случае симметричен и приводится к диагональному виду выбором одной из декартовых координатных осей вдоль оси симметрии кристалла.)