Еше одна трехдиагональная матрица

[Otta]

- по второму разу, конечно, уже не то.

Мне эта задача досталась "по наследству".

Найти
$ \begin{vmatrix} \lambda& n &0 &\cdots &0&0\\ -1 & \lambda &n-1&\cdots &0& 0\\ 0 & -2 & \lambda& \cdots&0 & 0 \\ \hdotsfor{6}\\ 0&0&0&\cdots & \lambda & 1\\ 0 & 0 & 0& \cdots &-n &\lambda \\ \end{vmatrix}$

[Markiyan Hirnyk]

Пожалуйста, уточните форму матрицы. При $n=3$ это

$$ \left[ \begin {array}{ccc} \lambda&3&0\\ \noalign{\medskip}-1&\lambda &2\\ \noalign{\medskip}0&-2&\lambda\end {array} \right] ?$$

Да или нет? А как выглядит матрица при $n=4?$

[Xaositect]

Нет, при $n = 3$ это будет $\begin{bmatrix} \lambda & 3 & 0 & 0 \\ -1 & \lambda & 2 & 0 \\ 0 & -2 & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & -3 & \lambda \end{bmatrix}$

[Otta]

Markiyan Hirnyk Вы написали попытались написать матрицу для $n=2$. Наверное.

$$ \left[ \begin {array}{ccc} \lambda&2&0\\ \noalign{\medskip}-1&\lambda &1\\ \noalign{\medskip}0&-2&\lambda\end {array} \right] $$

Случай другой размерности все еще нуждается в уточнении? Мне казалось, там все однозначно. :(

Xaositect
Да, спасибо.

[Markiyan Hirnyk]

Понял.

[TOTAL]

При $\lambda = -i(n-2p)$, $p=0,1, \dots, n$, система уравнений $Ax=0$ имеет решение

$$ x_k=i^k\sum_{m=0}^p(-2)^m C^m_p\frac{[k]^m}{[n]^m}, \; k=0,1, \dots, n, $$

в чем можно убедиться подстановкой и сравнением коэффициентов перед $[k]^m$, где обозначено $[k]^m=k(k-1)\cdots(k-m+1)$.

Поэтому

$$ Det(A) = \prod_{p=0}^n(\lambda + i(n-2p)) = \left(\lambda^2+n^2\right)\left(\lambda^2+(n-2)^2\right)\cdots $$

[Otta]

На самом деле, задача имеет довольно красивое и естественное решение. Понятно, что матрица - характеристическая для некоторого оператора. Если удачно выбрать оператор и пространство, то решение получается очень красивым.

Пока оставлю это так. Может, кто придумает. Ну а не придумает - позже напишу.
Все-таки думаю, что кто-нибудь да придумает.

[Otta]

(Подсказка)

Оператор дифференцирования на пространстве однородных тригонометрических многочленов нужной степени в помощь.