Доброе время суток!
Хотелось бы понять рассматривались ли такие конструкции, для ясности приведу простой пример и этой оперы, а потом опишу общий вид.
Возьем кольцо вычетов по модулю

:

, и попробуем присоединить к нему обратный к

элемент:

.
Для этого рассмотрим множество формальных выражений вида:

, так как

, то в кольце

верно, что

, что дает нам право в нашем расширении считать

, таким образом легко проверить, что наше множество есть снова кольцо: сложение и вычитание выполняем,естественно, покомнонентно, а умножение дается такой формулой:

В общем случае можно к конечному кольцу присоединить обратный элемент по такому признаку, если только он не является нильпотентом (ибо тогда возникает деление на ноль,что неприятно), и как бы движемся в сторону поля.
P.S. Я уверен, что подобные вещи рассматривались в свое время, но скорее всего тут ничего особо интересного и нет, ибо сразу видется много трудностей (в случае бесконечных колец такие расширения будут иметь бесконечную размерность, а в случае конечных колец нельзя адекватно присоединить нильпотенты), но все равно интересно.