Расширение кольца в сторону поля.

[Pulseofmalstrem]

Доброе время суток!
Хотелось бы понять рассматривались ли такие конструкции, для ясности приведу простой пример и этой оперы, а потом опишу общий вид.

Возьем кольцо вычетов по модулю $6$: $\mathbb{Z}_6$, и попробуем присоединить к нему обратный к $4$ элемент: $\frac{1}{4}$.
Для этого рассмотрим множество формальных выражений вида:
$a + \frac{b}{4}$, так как $4 \cdot 4 = 16 = 6\cdot2 + 4$, то в кольце $\mathbb{Z}_6$ верно, что $4^2 = 4$, что дает нам право в нашем расширении считать $(\frac{1}{4})^2 = \frac{1}{4}$, таким образом легко проверить, что наше множество есть снова кольцо: сложение и вычитание выполняем,естественно, покомнонентно, а умножение дается такой формулой:
$(a + \frac{b}{4})(c + \frac{d}{4}) = ac + \frac{ad + bc + bd}{4}$
В общем случае можно к конечному кольцу присоединить обратный элемент по такому признаку, если только он не является нильпотентом (ибо тогда возникает деление на ноль,что неприятно), и как бы движемся в сторону поля.

P.S. Я уверен, что подобные вещи рассматривались в свое время, но скорее всего тут ничего особо интересного и нет, ибо сразу видется много трудностей (в случае бесконечных колец такие расширения будут иметь бесконечную размерность, а в случае конечных колец нельзя адекватно присоединить нильпотенты), но все равно интересно.

[g______d]

https://en.wikipedia.org/wiki/Localization_of_a_ring

Это не совсем то, но ваша конструкция сведётся к локализации, если вы потребуете естественных соотношений вроде $1+\frac{0}{4}=0+\frac{4}{4}$. Если в знаменателе делитель нуля (как в вашем случае), из-за этих соотношений кольцо может уменьшиться.

[VAL]

Pulseofmalstrem, а Вас не смущает, например, такое: $3=3\cdot(4\cdot\frac14)=(3\cdot4)\cdot\frac14=0$

g______d, Вы это имели в виду?

[g______d]

VAL в сообщении #1164577 писал(а):

Вы это имели в виду?

Да. Только у вас тоже равенство $4\cdot \frac14=1$ предполагается, хотя формально из определения не следует.

[VAL]

g______d в сообщении #1164582 писал(а):

Только у вас тоже равенство $4\cdot \frac14=1$ предполагается, хотя формально из определения не следует.

Так я исходил из допущений ТС:

Pulseofmalstrem в сообщении #1164541 писал(а):

Возьем кольцо вычетов по модулю $6$: $\mathbb{Z}_6$, и попробуем присоединить к нему обратный к $4$ элемент: $\frac{1}{4}$.

[g______d]

Короче говоря, ответ на вопрос ТС -- да, рассматривались, называются локализация, описаны по ссылке в википедии или в любом учебнике по коммутативной алгебре.