Вычислимые функции и границы множеств

[arseniiv]

Пусть $(A,\rho)$ — метрическое пространство, и $A^c$ — всюду плотное счётное подмножество $A$ такое, что $\rho|_{A^c\times A^c}$ — вычислимая функция (считаем, что есть биекция $\mathsf{code}\colon A^c\to D$ в разрешимое $D\subset\mathbb N$, и что $\rho\circ(\mathsf{code}^{-1},\mathsf{code}^{-1})$ принимает значения в вычислимых действительных числах и вычислима).

Рассмотрим несколько функций, связанных с подмножествами $X\subset A$:
• $1^c_X = 1_X|_{A^c}$, где $1_X(a) = a\in X\mathbin? 1 : 0$ — характеристическая функция $X$;
• $1^c_{\partial X} = 1_{\partial X}|_{A^c}$, где $\partial X$ — граница $X$;
• $d^c_{\partial X} = d_{\partial X}|_{A^c}$, где $d_Y(a) = \inf_{y\in Y}\rho(y,a)$ — расстояние от точки до $Y$.

Назовём $\mathcal A$ класс подмножеств $X$ таких, что все $1^c_X, 1^c_{\partial X}, d^c_X$ вычислимы. Пусть у всех этих функций тоже есть коды. Хочется составить впечатление о максимальных $\mathcal B_i\subset\mathcal A$ (если есть) таких, что для всех $X\in\mathcal B_i$ отображение $F_i$ вычислимы, и всевозможных пересечениях $\mathcal B_i$; $F_1 = \mathsf{code}(1^c_X)\mapsto\mathsf{code}(1^c_{\partial X})$, $F_2 = \mathsf{code}(1^c_X)\mapsto \mathsf{code}(d^c_{\partial X})$.

Вообще я хотел спросить что-то в духе «для насколько широкого круга подмножеств $A$ (под которым вообще можно сначала понимать $\mathbb R^2$) мы можем вычислить их границу?», и не уверен, что это нельзя было сделать более кратко, ясно и правильно.

[Xaositect]

Я вот как-то не могу придумать нетривиальный пример, в котором граница вычислима. В первом приходящем на ум случае, когда множество задано неравенством $f(x) < 0$ с вычислимой функцией $f$, граница задается равенством $f(x) = 0$, которое неразрешимо.

[arseniiv]

Кстати, мне ещё стоило ввести в рассмотрение функцию $n^c_{\partial X}(d, a) = (d^c_{\partial X}(a) < d) \mathbin? 1 : 0$, с ней-то дела должны быть получше.