Аналог леммы Кронекера для "схемы серий"

[Henrylee]

Существует ли сабж и где посмотреть. Требуется для реальной задачи. Именно: хочется найти (или доказать) следующее утверждение.

Пусть $(b_n)_{n\ge 1}$ - последовательность полож. возрастающих чисел, $b_n\to\infty$, $\left\{x_k^{(n)}\right\}_{k=1}^n,~n=1,2,\dots$ схема серий (числовая) такая, что

$$ \lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=1}^n x_k^{(n)}<\infty. \eqno{(1)} $$

Тогда

$$ \frac1{b_n}\sum\limits_{k=1}^n b_kx_k^{(n)}\to 0,\quad n\to\infty. $$

Напомню, что в классической лемме Кронекера (см. А.Н.Ширяев. Вероятность, 2004, Т2, стр.543) $\{x_k\}$ просто последовательность, а условие (1) - условие сходимости ряда.

PS А может быть утверждение вообще неверно, и можно построить контрпример?